【加密算法】RSA算法与代码实现

RSA算法是一种广泛使用的公钥密码系统,它的名字来源于其创始人Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman的首字母。RSA算法是一种基于数论的密码系统,它利用了数论中的一些定理和概念,如费马小定理和大数分解难题。

1、历史介绍

RSA算法是由Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman在1977年共同发明的。在此之前,公钥密码系统已经被提出了,但是它们要么是理论上的,要么实现起来非常困难。RSA算法的出现为公钥密码系统的实际应用开辟了道路。

2、代码说明

RSA是一种非对称加密算法,它使用一对密钥,其中一个公开用于加密,另一个保密用于解密。下面是RSA算法的计算过程:

  • 选择两个大质数p和q,并计算它们的积n=p*q。
  • 选择一个公开的指数e,要求e和φ(n)=(p-1)*(q-1)(欧拉函数)互质,即gcd(e, φ(n))=1。
  • 计算与e互质的模反元素d,即gcd(d, φ(n))=1且d*e≡1 mod φ(n)。
  • 将p和q销毁,使得只有授权的实体能够重新获得它们。

加密过程:

  • 对于要加密的明文消息m,将其转化为一个整数小于n。
  • 对m进行加密,得到密文c,计算公式为c=m^e mod n。
  • 将密文c发送给接收者。

解密过程:

  • 接收者收到密文c后,使用自己的私钥d对c进行解密,得到明文m,计算公式为m=c^d mod n。
    由于d和φ(n)互质,根据费马小定理,有c^d mod n=(me)d mod n=(m^(ed)) mod n=m^(ed*mod n) mod n=m。
    【加密算法】RSA算法与代码实现_第1张图片
package com.example.demo;


import java.io.UnsupportedEncodingException;
import java.math.BigInteger;

import java.util.LinkedList;
import java.util.List;

public class DemoMain {
    public static void main(String[] args) throws UnsupportedEncodingException {


        // 选择两个质数p和q
        BigInteger p = new BigInteger("11");
        BigInteger q = new BigInteger("19");

        // 计算n和φ(n)
        BigInteger n = p.multiply(q);

        BigInteger phi = p.subtract(BigInteger.ONE).multiply(q.subtract(BigInteger.ONE));

        System.out.println("n:" + n);
        System.out.println("phi:" + phi);

        // 选择一个公开的指数e,并计算模反元素d
        BigInteger e = new BigInteger("7");

        BigInteger d = e.modInverse(phi);


        // 公钥和私钥
        BigInteger publicKey = e;
        BigInteger privateKey = d;
        System.out.println("公钥:" + publicKey);

        System.out.println("私钥:" + privateKey);

        // 明文消息
        String plaintext = "kexuexiong";

        //一、私钥加密,公钥解密,模拟服务器发消息给客户端
        System.out.println("-------------------------------------私钥加密,公钥解密,模拟服务器发消息给客户端---------------------------------");

        processing(n, e, d, plaintext);


        //二、公钥加密,私钥解密,模拟客户端发消息给服务器
        System.out.println("-------------------------------------公钥加密,私钥解密,模拟客户端发消息给服务器---------------------------------");
         plaintext = "hello ,rose and jeck!!";
        processing(n, d, e, plaintext);

    }

    private static void processing(BigInteger n, BigInteger e, BigInteger d, String plaintext) throws UnsupportedEncodingException {

        System.out.println("需要加密的明文:"+plaintext);
        // 加密过程
        byte[] bytes = plaintext.getBytes("utf-8");
        List<String> plaintextList = new LinkedList<>();


        for (Byte aByte : bytes) {
            BigInteger message = new BigInteger(aByte.toString());

            BigInteger ciphertext = message.modPow(d, n);//加密之后的值可能超过Byte的最大值,所以直接用string保存
            plaintextList.add(ciphertext.toString());
        }

        System.out.println("加密后队列:"+plaintextList);


        // 解密过程
        List<Byte> cipherList = new LinkedList<>();

        for (String ciphertext : plaintextList) {

            BigInteger decryptedMessage = new BigInteger(ciphertext).modPow(e, n);

            cipherList.add(decryptedMessage.byteValue());

        }
        System.out.println("解密后队列信息: " + cipherList);

        byte[]  bytesMsg = new byte[cipherList.size()];

        for (int i = 0; i < cipherList.size(); i++) {
            bytesMsg[i] = cipherList.get(i);
        }

        System.out.println("解密后信息:" + new String(bytesMsg, "utf-8"));
    }


}

这个示例代码中,我们选择了两个质数p和q,计算了n和φ(n),然后选择了一个公开的指数e,并计算了模反元素d。然后,我们使用公钥对一个明文消息进行加密,并使用私钥对其进行解密。最后,我们打印出加密后的密文和解密后的明文。

输出结果:

n:209
phi:180
公钥:7
私钥:103
-------------------------------------私钥加密,公钥解密,模拟服务器发消息给客户端---------------------------------
需要加密的明文:kexuexiong
加密后队列:[50, 118, 175, 90, 118, 175, 51, 100, 143, 141]
解密后队列信息: [107, 101, 120, 117, 101, 120, 105, 111, 110, 103]
解密后信息:kexuexiong
-------------------------------------公钥加密,私钥解密,模拟客户端发消息给服务器---------------------------------
需要加密的明文:hello ,rose and jeck!!
加密后队列:[80, 161, 48, 48, 188, 10, 66, 38, 188, 58, 161, 10, 147, 165, 111, 10, 182, 161, 44, 145, 22, 22]
解密后队列信息: [104, 101, 108, 108, 111, 32, 44, 114, 111, 115, 101, 32, 97, 110, 100, 32, 106, 101, 99, 107, 33, 33]
解密后信息:hello ,rose and jeck!!

Process finished with exit code 0

RSA 算法之所以具有安全性,是基于数论中的一个特征事实:将两个大的素数合成一个大数很容易,而将一个大数分解成两个素数却非常困难。RSA 密码应用中公钥 (n,e)是被公开的,也就是说n和的数值是可以被别人知道的,破解 RSA密码的问题其实就是通过 e和 n 的数值 (npg)来求 d 的值,这样就可以获得私钥(n,d)要想得到私钥的值就要求得 f(n)的值因为ed=1mod f(n)。又因为 f(n)=(p-1)(g-1),要求得 f(n)的值就要通过已知的 n值来求。换句话说破解密的实质是求p和g 的值,当p和g 是一个大素数时,从它们的积 p 去分解因子p 和g 是一个公认的数学难题,很难实现。因此 RSA 的安全性是依赖于公钥的大数 的位数长度的位数越大,分解n的可能性越小,所以本系统的n值采用的是 1024 比特位,这样加大了密码破解的难度,提高系统的安全性。

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