动态规划练习（一）

参考 大佬的学习笔记 题解
题目全部基于leetcode

解题步骤

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

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基础篇

熟悉动态规划的解题思路，理解解题步骤

509.斐波那契数

题目描述

斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：
F(0) = 0，F(1) = 1
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1
给定 n ，请计算 F(n) 。

解题步骤

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp：斐波那契数列
   dp[i]：第i个数的斐波那契数值
2. 确定递推公式
   dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
3. dp数组如何初始化
   dp[0] = 0
   dp[1] = 1
4. 确定遍历顺序
   由推导公式dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 可知
   是由前数计算出后数的，顺序为从前往后遍历
5. 举例推导dp数组
   0 1 1 2 3 5 8 13

实现代码

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n<2) {
            return n;
        }
        return fib(n-1) + fib(n-2);
    }
}

70. 爬楼梯

题目描述

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

解题步骤

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
2. 确定递推公式
   由
   i-2阶爬2个台阶，可达到i
   i-1阶爬1个台阶，可达到i
   可知
   dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
3. dp数组如何初始化
   爬上1阶，只有1种方法
   dp[1] = 1
   爬上2阶，有2种方法（1+1；2）
   dp[2] = 2
4. 确定遍历顺序
   由推导公式dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] 可知
   是由前数计算出后数的，顺序为从前往后遍历
5. 举例推导dp数组
   1 2 3 5 8 13

实现代码

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n < 3) {
            return n;
        }
        return climbStairs(n-1) + climbStairs(n-2);
    }
}

上面的递归方法，在leetcode会超出时间限制，可尝试下面的方法

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int dp0 = 0, dp1 = 0, result = 1;
       for (int i = 1; i <= n; ++i) {
           dp0 = dp1;
           dp1 = result;
           result = dp0 + dp1;
       }
       return result;
    }
}

746. 使用最小花费爬楼梯

题目描述

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

解题步骤

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]：达到第i层楼梯的最低花费
2. 确定递推公式
   由
   一次可爬1or2台阶，花费有2种
   可知
   dp[i] = dp[i-1] + cost[i-1]
   或
   dp[i] = dp[i-2] + cost[i-2]
   所以
   最低花费
   dp[i] = min(dp[i-1] + cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2])
   这样可保证每次都是最低花费
3. dp数组如何初始化
   由题目可知
   可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯
   dp[0] = 0
   dp[1] = 0
4. 确定遍历顺序
   由推导公式可知
   是由前数计算出后数的，顺序为从前往后遍历
5. 举例推导dp数组

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。
-支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
-支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
-支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
-支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
-支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
-支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
总花费为 6 。

实现代码

class Solution {
    public int minCostClimbingStairs(int[] cost) {
        int dp0 =0, dp1 = 0, dpi = 0;
        for (int i=2; i<=cost.length; i++) {
            dpi = Math.min(dp1 + cost[i-1], dp0 + cost[i-2]);
            dp0 = dp1;
            dp1 = dpi;
        }
        return dpi;
    }
}

62. 不同路径

题目描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28

解题步骤

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i][j]：到达坐标(i,j)有d[i][j]种方法
2. 确定递推公式
   由题目
   机器人每次只能向下或者向右移动一步
   可知
   dp[i][j] = d[i-1][j] + d[i][j-1]
3. dp数组如何初始化
   d[0][j] = 1
   d[i][0] = 1
4. 确定遍历顺序
   根据推导公式可从左向右遍历
5. 举例推导dp数组

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1.向右 -> 向下 -> 向下
2.向下 -> 向下 -> 向右
3.向下 -> 向右 -> 向下

实现代码

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            dp[i][0] = 1;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                dp[0][j] = 1;
                if (i > 0 && j > 0) {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[m-1][n-1];
    }
}