LQR 控制器

LQR（Linear Quadratic Regulator）控制器

LQR（Linear Quadratic Regulator）是一种经典的线性控制器设计方法，用于设计线性时不变系统的状态反馈控制器，以最小化系统性能指标，通常是二次代价函数。下面，将详细推导LQR算法，并提供MATLAB应用示例。

推导LQR控制器：

考虑一个离散时间线性时不变系统的状态空间表达式：

$$x[k+1]=Ax[k]+Bu[k]$$

其中，$x[k]$ 是系统状态，$u[k]$ 是控制输入，$A$ 和$B$ 是系统矩阵。

LQR的目标是找到一个状态反馈控制器，它具有以下形式：

$$u[k]=-Kx[k]$$

其中，$K$ 是控制器增益矩阵，它需要优化。控制器的目标是最小化以下代价函数：

$$J=\sum _{k=0}^{\infty }(x[k{]}^{T}Qx[k]+u[k{]}^{T}Ru[k])$$

其中，$Q$ 是状态权重矩阵，$R$ 是控制输入权重矩阵。

我们首先需要解出Riccati方程来找到最优控制器增益$K$和最小的代价函数$J$。

1. 首先，我们定义代价函数的无穷时间累积：

$$J=\underset{N\to \infty }{\lim }\sum _{k=0}^N(x[k{]}^{T}Qx[k]+u[k{]}^{T}Ru[k])$$

2. 接下来，我们定义一个有限时间的代价函数，称为$J_N$，并将其表示为与无穷时间代价函数的差值：

$$J_N=\sum _{k=0}^N(x[k{]}^{T}Qx[k]+u[k{]}^{T}Ru[k])-x[N+1{]}^{T}Qx[N+1]$$

这里，我们假设$x[N+1]$是一个零向量，这是因为我们在有限时间内考虑代价。

3. 然后，我们通过对$J_N$对$u[k]$求偏导，并令其等于零来找到最小值：

$$\frac{\partial J_N}{\partial u[k]}=2Ru[k]+2B^{T}Px[k]=0$$

其中，$P$是状态权重矩阵的解，它满足离散时间的Riccati方程：

$$P=A^{T}PA-A^{T}PB(R+B^{T}PB{)}^{-1}{B}^{T}PA+Q$$

4. 一旦我们找到了$P$，我们可以计算最优控制器增益$K$：

$$K=(R+B^{T}PB{)}^{-1}{B}^{T}PA$$

步骤4：使用MATLAB实现LQR控制器和仿真

以下是针对一个二阶系统的MATLAB代码示例，包括控制器设计和性能仿真。假设我们有以下系统参数：

$$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right],Q=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right],R=1$$

% 定义系统矩阵
% 系统矩阵
A = [1, 1; 0, 1];
B = [0; 1];

% 权重矩阵
Q = [1, 0; 0, 1];
R = 1;

% 求解Riccati方程
P = dare(A, B, Q, R);

% 计算最优控制器增益矩阵 K
K = (R + B' * P * B)^(-1) * B' * P * A;

% 仿真系统响应
x0 = [100; 0]; % 初始状态
N = 100; % 仿真步数
x = zeros(2, N);
u = zeros(1, N);
x(:,1) =x0;

for k = 1:N
    u(k) = -K * x(:, k); % 计算控制输入
    x(:, k+1) = A * x(:, k) + B * u(k); % 更新状态
end

% 绘制状态和控制输入
figure(Color='w')
t = 0:N;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, x(1, :), 'b', 'LineWidth', 2);
ylabel('状态 x_1');
title('LQR控制器仿真');
set(gca,'FontSize',18);
subplot(2, 1, 2);
stairs(t(1:end-1), u, 'r', 'LineWidth', 2);
xlabel('时间步骤');
ylabel('控制输入 u');
set(gca,'FontSize',18);

在这个示例中，我们首先定义了系统的$A$和$B$矩阵，然后设置了状态权重矩阵$Q$和控制输入权重矩阵$R$。接下来，我们使用dare函数来解Riccati方程，找到状态权重矩阵$P$，然后计算最优控制器增益矩阵$K$。这个矩阵$K$可以用于状态反馈控制系统。