【高等数学】拉格朗日乘数法

#16 拉格朗日乘数法

所谓拉格朗日乘数法，是一种求条件极值的办法。所谓条件极值，就是在给定的约束条件下，求目标函数的极值。

符号解释：目标函数 $u=f(x,y)$, 约束条件 $\phi (x,y)=0$

应用条件：$f(x,y)$和$\phi (x,y)$一阶偏导数连续（$\Rightarrow$可微）

证明：可参考拉格朗日乘数法-wiki

使用方法：

1. 构造拉格朗日函数$F(x,y,\lambda )=f(x,y)+\lambda \phi (x,y)$
2. 梯度为零，构造方程组：$\nabla F=0$
3. 解得满足方程组的驻点
4. 根据实际情况判断这些点是不是极值点

从使用方法4可以看出，拉格朗日乘数法，求得的点其实仅仅可能是极值点。

举例：证明当离散信源均匀分布的时候熵最大

目标函数：$H=-{\sum }_{i=1}^N{p}_{i}lo{g}_2(p_i)$

约束条件：$p_1+p_2+p_3+\cdots +p_N=1$，且$p_i>0$

证明：