【高等数学】多元函数积分的轮换性,轮换对称性,对称性的区别

  1. 轮换性:只是单纯的自变量的符号形式发生交换,与轮换前的积分(包括被积函数和积分区域)没有本质区别

注意到函数中x和y互换了,积分区域的横纵坐标也互换了,如果放在同一个坐标系下,蓝色区域和橙色区域是关于直线y=x对称的。

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  1. 轮换对称性:交换函数自变量的符号,同时不改变积分区域,此时积分值不变,则称其积分区域具有轮换对称性

注意到函数中x和y互换了,积分区域的横纵坐标没有互换,而且积分区域本身是关于y=x对称的。

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  1. 对称性:固定某个自变量之外的其他自变量,此时多元函数降为一元函数,若此时的一元函数是奇函数,则积分值为0,若是偶函数,则为0到积分上限的积分值的二倍。

轮换对称性举例:

计算匀质球体的转动转动惯量I。

(更正1:轮换后积分区域并非没有发生变化,坐标轴是发生了改变的,只是对于函数这三个 x 2 , y 2 , z 2 x^2, y^2, z^2 x2,y2,z2的积分值不变。)
(更正2:更正1说法是错的。轮换后,积分区域没有发生改变,改变的是各个积分微元的权值,比如点(1,0,2),从x2→z2轮换后,那么权值将从1→4,但由于积分区域-球体关于三个坐标平面对称,那么另外一个点(2,0,1)的权值就会从4→1,如此,轮换后的积分结果不会发生改变。)

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