一大盘洋芋
一大盘洋芋

伽玛函数1/2值计算

\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt

\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt

解法一：

由余元公式：

\Gamma(1-x)\Gamma(x)=\frac{\pi}{sin\pi x}

可得

\Gamma(\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}

解法二：

\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt

令t=\frac{x^{2}}{2}

\begin{aligned} \Gamma(\frac{1}{2})&=\int_{0}^{\infty}\sqrt{2}x^{-1}e^{-\frac{x^{2}}{2}}d\frac{x^{2}}{2}\\ &=\int_{0}^{\infty}\sqrt{2}e^{-\frac{x^{2}}{2}}dx \end{aligned}

由标准正态分布密度函数：

f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}},-\infty< x<\infty

伽玛函数1/2值计算_第1张图片

解法三：

\Gamma(\frac{1}{2})=\int_{0}^{\infty}t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}dt

令t=x^{2}

\begin{aligned} \Gamma(\frac{1}{2})=&\int_{0}^{\infty}x^{-1}e^{-x^{2}}dx^{2}\\ =&\int_{0}^{\infty}2e^{-x^{2}}dx \end{aligned}

令I=\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx

则

I^{2}=\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}-y^{2}}dxdy

转化为极坐标：

\begin{aligned} I^{2}=&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\infty}e^{-\rho^{2}}\rho d\rho d\theta\\ =&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}[-\frac{1}{2}e^{-\rho^{2}}]_{0}^{\infty}d\theta\\ =&\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}d\theta\\ =&\frac{\pi}{4} \end{aligned}

I=\frac{\sqrt{\pi}}{2}

\Gamma(\frac{1}{2})=2I=\sqrt{\pi}

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