LeetCode 240. Search a 2D Matrix II【二分/分治/思维】⭐⭐⭐⭐⭐

题目描述

矩阵的每行从左到右是升序，每列从上到下也是升序，在矩阵中查找某个数。

知识点

二分、分支、思维

解法一——二分

结果

码前思考

看到有序，第一反应就是二分查找。最直接的做法，一行一行的进行二分查找即可。

此外，结合有序的性质，一些情况可以提前结束：

1. 比如某一行的第一个元素大于了 target ，当前行和后边的所有行都不用考虑了，直接返回 false。

2. 某一行的最后一个元素小于了 target ，当前行就不用考虑了，换下一行。

时间复杂度的话，如果是 m 行 n 列，就是 $O(mlog(n))$。

代码实现

class Solution {
    public boolean searchMatrix(int[][] matrix, int target) {
        if(matrix.length == 0 || matrix[0].length == 0){
            return false;
        }
        for(int i=0;i<matrix.length;i++){
            if(matrix[i][0] > target){
                break;
            }
            if(matrix[i][matrix[i].length-1] < target){
                continue;
            }
            int col = binarySearch(matrix[i],target);
            if(col != -1){
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

    private int binarySearch(int[] nums,int target){
        int start = 0;
        int end = nums.length -1;
        while(start <= end){
            int mid = (start+end) >>> 1;
            if(nums[mid] == target){
                return mid;
            }else if(nums[mid] < target){
                start = mid+1;
            }else{
                end = mid-1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

解法二——思维⭐⭐⭐⭐⭐(重要！！！)

结果

码前思考

需要很敏锐的观察力了。

数组从左到右和从上到下都是升序的，如果从右上角出发开始遍历呢？

会发现每次都是向左数字会变小，向下数字会变大，有点和二分查找树相似。二分查找树的话，是向左数字变小，向右数字变大。

所以我们可以把 target 和当前值比较。

• 如果 target 的值大于当前值，那么就向下走。
• 如果 target 的值小于当前值，那么就向左走。
• 如果相等的话，直接返回 true 。

也可以换个角度思考。

如果 target 的值小于当前值，也就意味着当前值所在的列肯定不会存在 target 了，可以把当前列去掉，从新的右上角的值开始遍历。

同理，如果 target 的值大于当前值，也就意味着当前值所在的行肯定不会存在 target了，可以把当前行去掉，从新的右上角的值开始遍历。

看下边的例子。

[1,   4,  7, 11, 15],
[2,   5,  8, 12, 19],
[3,   6,  9, 16, 22],
[10, 13, 14, 17, 24],
[18, 21, 23, 26, 30]

如果 target  = 9，如果我们从 15 开始遍历, cur = 15
    
target < 15, 去掉当前列, cur = 11
[1,   4,  7, 11],
[2,   5,  8, 12],
[3,   6,  9, 16],
[10, 13, 14, 17],
[18, 21, 23, 26]    
    
target < 11, 去掉当前列, cur = 7  
[1,   4,  7],
[2,   5,  8],
[3,   6,  9],
[10, 13, 14],
[18, 21, 23]     

target > 7, 去掉当前行, cur = 8   
[2,   5,  8],
[3,   6,  9],
[10, 13, 14],
[18, 21, 23]       

target > 8, 去掉当前行, cur = 9, 遍历结束    
[3,   6,  9],
[10, 13, 14],
[18, 21, 23]   

不管从哪种角度考虑，代码的话都是一样的。

时间复杂度就是每个节点最多遍历一遍了，$O(m+n)$。

代码实现

//从右上角开始遍历，类似于BST树来操作
class Solution {
public:
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        if(matrix.size() == 0 || matrix[0].size() == 0){
            return false;
        }

        int row = 0;
        int col = matrix[0].size()-1;

        while(row < matrix.size() && col >= 0){
            if(matrix[row][col] > target){
                col--;
            }else if(matrix[row][col] < target){
                row++;
            }else{
                return true;
            }
        }

        return false;
    }
};

码后反思

1. 之前用的暴力方法，暴力会超时。。。时间复杂度为 $O(m\ast n)$ ，非常不可以！！！即使我采用了各种剪枝，但是仍然在最坏的情况下会超时。这就是从 左上角 和 右上角 开始的区别。

   //采用DFS并且搭配上一定的剪枝操作
   class Solution {
   public:
       vector<vector<bool> > vis;
       bool flag = false;  //用于标记是否找到
       int dir[2][2] = {{1,0},{0,1}};
       int m,n;
       bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
           m = matrix.size();
           if(m == 0){
               return false;
           }
           n = matrix[0].size();
           if(n == 0){
               return false;
           }
           vis.assign(m,vector<bool>(n,false));
           search(matrix,target,0,0);
   
           return flag;        
       }
   
       void search(vector<vector<int>>& matrix, int target,int x,int y){
           //printf("x:%d y:%d\n",x,y);
           if(!flag){
               vis[x][y] = true;
           
               if(matrix[x][y] == target){
                   flag = true;
                   return;
               }else{
                   for(int i=0;i<2;i++){
                       int newX = x + dir[i][0];
                       int newY = y + dir[i][1];
                       if(newX >=m || newY >= n || vis[newX][newY] || flag){//被访问过了
                           continue;
                       }else{
                           //代表可以访问
                           search(matrix,target,newX,newY);
                       }
                   }
               }
               return;
           }
       }
   };
   

参考文档

1. 详细通俗的思路分析，多解法

二刷代码

//采用类似于二叉树的写法进行解题
class Solution {
public:
    int dir[2][2] = {{0,-1},{1,0}};
    bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
        bool isFind = false;
        int m = matrix.size();
        if(m==0){
            return false;
        }
        int n = matrix[0].size();

        int x=0;
        int y=n-1;

        //遇到边界就会挂掉
        while(isFind != true && x<m && y>=0){
            if(matrix[x][y] == target){
                isFind=true;
            }else{
                if(target<matrix[x][y]){
                    x += dir[0][0];
                    y += dir[0][1];
                }else{
                    x += dir[1][0];
                    y += dir[1][1];
                }
            }
        }

        return isFind;
    }
};