代码随想录算法训练营第44天 | ● 完全背包● 518. 零钱兑换 II ● 377. 组合总和 Ⅳ

文章目录

• 前言
• 一、完全背包
• 二、518. 零钱兑换 II
• 三、377. 组合总和 Ⅳss
• 四、爬楼梯（进阶）
• 总结

---

前言

完全背包；

---

一、完全背包

前情回顾，01背包中二维dp数组的两个for遍历的先后循序是可以颠倒了，一维dp数组的两个for循环先后循序一定是先遍历物品，再遍历背包容量。

对于01背包的一维数组：

首先，其背包的遍历顺序是倒序，因为01背包只允许取一个，倘若是正序，对于dp[j] = dp[j-weigh[i]) + value[i] ,会重复取多次，不符合01背包的定义；因而01背包的两层for循环，先循环物品，后循环背包，因为这样只会取一次（横向遍历）；而先循环背包，后循环物品（纵向遍历），那么至多只能放一种，举个例子：

公式：dp[j] = dp[j-weigh[i]) + value[i]  + 背包是倒序

1.先物品后背包： （横向）在i = 1,也就是第二行时，dp[4] = dp[4-3]+20 = dp[1]+20,在i=0时，dp[1] = 15;因而dp[4] = 15+20 = 35;

2.先背包后物品：（纵向）因为是倒序遍历背包，在最后一列，当i=1，第二行时，dp[4] = dp[4-3]+20 = dp[1]+20,但因为是纵向，dp[1]还没有被赋值，仍是0，所以dp[4] = 0+20=20；

完全背包和01背包问题唯一不同的地方就是，每种物品有无限件。对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！

因为dp[j] 是根据 下标j之前所对应的dp[j]计算出来的。 只要保证下标j之前的dp[j]都是经过计算的就可以了。

代码：（先物品）

    for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
        for (int j = weight[i]; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
            dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
        }
    }

代码：（先背包，注意这里已经是正序，且代码相对逆序有所变动）

    for (int j = 1; j <= bagWeight; j++){ // 遍历背包容量
        for (int i = 0; i < weight.length; i++){ // 遍历物品
            if (j - weight[i] >= 0){
                dp[j] = Math.max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
            }
        }
    }

二、518. 零钱兑换 II

递推公式：

dp[j]，j 为5，

• 已经有一个1（nums[i]） 的话，有 dp[4]种方法 凑成 容量为5的背包。
• 已经有一个2（nums[i]） 的话，有 dp[3]种方法 凑成 容量为5的背包。
• 已经有一个3（nums[i]） 的话，有 dp[2]中方法 凑成 容量为5的背包
• 已经有一个4（nums[i]） 的话，有 dp[1]中方法 凑成 容量为5的背包
• 已经有一个5 （nums[i]）的话，有 dp[0]中方法 凑成 容量为5的背包

那么凑整dp[5]有多少方法呢，也就是把 所有的 dp[j - nums[i]] 累加起来

初始化：

首先dp[0]一定要为1，dp[0] = 1是 递归公式的基础。如果dp[0] = 0 的话，后面所有推导出来的值都是0了。下标非0的dp[j]初始化为0，这样累计加dp[j - coins[i]]的时候才不会影响真正的dp[j]。dp[0]=1还说明了一种情况：如果正好选了coins[i]后，也就是j-coins[i] == 0的情况表示这个硬币刚好能选，此时dp[0]为1表示只选coins[i]存在这样的一种选法。

组合不强调元素之间的顺序，排列强调元素之间的顺序。

遍历顺序：

本题要求凑成总和的组合数，元素之间明确要求没有顺序。所以纯完全背包是能凑成总和就行，不用管怎么凑的。本题是求凑出来的方案个数，且每个方案个数是为组合数。那么本题，两个for循环的先后顺序可就有说法了。

如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。

假设：coins[0] = 1，coins[1] = 5。

那么就是先把1加入计算，然后再把5加入计算，得到的方法数量只有{1, 5}这种情况。而不会出现{5, 1}的情况。

所以这种遍历顺序中dp[j]里计算的是组合数！

如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

背包容量的每一个值，都是经过 1 和 5 的计算，包含了{1, 5} 和 {5, 1}两种情况。

此时dp[j]里算出来的就是排列数！

代码：

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        //递推表达式
        int[] dp = new int[amount + 1];
        //初始化dp数组，表示金额为0时只有一种情况，也就是什么都不装
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < coins.length; i++) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; j++) {
                dp[j] += dp[j - coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

 

三、377. 组合总和 Ⅳ 

推导基本上与上一题没有什么区分，不同的是，零钱是组合，不强调顺序；本题是排列，强调顺序；因此 区别在于本题先遍历背包后遍历物品，这样使得顺序出现区别。

class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i <= target; i++) {
            for (int j = 0; j < nums.length; j++) {
                if (i >= nums[j]) {
                    dp[i] += dp[i - nums[j]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}

 

四、爬楼梯（进阶版）

一步一个台阶，两个台阶，三个台阶，.......，直到 m个台阶。问有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

1阶，2阶，.... m阶就是物品，楼顶就是背包。

每一阶可以重复使用，例如跳了1阶，还可以继续跳1阶。

问跳到楼顶有几种方法其实就是问装满背包有几种方法。

此时大家应该发现这就是一个完全背包问题了！

本题看起来是一道简单题目，稍稍进阶一下其实就是一个完全背包！

如果我来面试的话，我就会先给候选人出一个 本题原题，看其表现，如果顺利写出来，进而在要求每次可以爬[1 - m]个台阶应该怎么写。

顺便再考察一下两个for循环的嵌套顺序，为什么target放外面，nums放里面。

这就能考察对背包问题本质的掌握程度，候选人是不是刷题背公式，一眼就看出来了。

这么一连套下来，如果候选人都能答出来，相信任何一位面试官都是非常满意的。

本题代码不长，题目也很普通，但稍稍一进阶就可以考察完全背包，而且题目进阶的内容在leetcode上并没有原题，一定程度上就可以排除掉刷题党了，简直是面试题目的绝佳选择！

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        int m = 2; //有兩個物品：itme1重量爲一，item2重量爲二
        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; i++) { // 遍历背包
            for (int j = 1; j <= m; j++) { //遍历物品
                if (i >= j)  //當前的背包容量 大於 物品重量的時候，我們才需要記錄當前的這個裝得方法（方法數+）
			dp[i] += dp[i - j];
            }
        }

        return dp[n];
    }
}

 

---

总结

完全背包；