高等工程数学（张韵华，汪琥庭，宋立功）—— 第二篇：数值计算

第六章：线性方程组的数值解

Doolittle分解

1. 矩阵$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ -2& -1& -5\\ 0& 3& -1\end{array}\right)$,的Doolittle分解式为$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 3& -3\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$.

​ 类似的：P132页

2. 用Doolittle分解求解方程组：

   $\left(\begin{array}{lll}2& 1& 1\\ 1& 3& 2\\ 1& 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}12\\ 20\\ 15\end{array}\right)$

   先LU分解：

   然后$LUX=b$，令$UX=Y$，求$Y$，$LY=b$。$Y=L^{-1}b$，得到如下式子：

   

   $Y=\left(\begin{array}{c}12\\ 14\\ \frac{3}{5}\end{array}\right)$，$UX=Y$，$X=U^{-1}Y$,求出$X$如下：

   

柯朗分解

类似于上面的求法，比下面的例题求法简单

雅可比迭代法（Jacobi）

P122

1. 设线性代数方程组$Ax=b$的系数矩阵为

   $\left|\begin{array}{ccc}1& a& a\\ a& 1& a\\ a& a& 1\end{array}\right|$，

   其中a为实数,试求能使 Jacobi方法收敛的a的取值范围.

​ $D=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right|$, $B=\left|\begin{array}{ccc}0& -a& -a\\ -a& 0& -a\\ -a& -a& 0\end{array}\right|$，

​ 求出$B$的特征值：$|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & a& a\\ a& \lambda & a\\ a& a& \lambda \end{array}\right|=>\left|\begin{array}{ccc}\lambda +2a& \lambda +2a& \lambda +2a\\ a& \lambda & a\\ a& a& \lambda \end{array}\right|=0$, ==>

​ $(\lambda +2a)\ast (\lambda -a{)}^2$

​ 解出${\lambda }_1=-2a,{\lambda }_{2,3}=a$,

​ 谱半径$\rho ={\max }_{1⩽i⩽n}\left|{\lambda }_i\right|=|2a|<1$,解出$|a|<1/2$.

2. 设有系数矩阵

$$A=\left[\begin{array}{lll}1& 2& -2\\ 1& 1& 1\\ 2& 2& 1\end{array}\right]$$

​ 证明: 对系数矩阵 $A,$ 雅可比迭代收敛, 而 Gauss-Seidel 迭代不收敛。

​ 由系数矩阵$A$,可得雅可比迭代矩阵是$B_1=I-D^{-1}A=\left[\begin{array}{lll}0& -2& 2\\ -1& 0& -1\\ -2& -2& 0\end{array}\right]$.

​ 求出特征值：${\lambda }_1={\lambda }_2={\lambda }_3=0$,谱半径$\rho ={\max }_{1⩽i⩽n}\left|{\lambda }_i\right|=0<1$，收敛。

另外一个判断方法，严格对角占优这样判断。 P128

​ 高斯–赛尔德迭代矩阵 p128

​ 由系数矩阵$A$,可得高斯—赛尔德迭代矩阵是$B_2=-(D+L{)}^{-1}U=\left[\begin{array}{lll}0& -2& 2\\ 0& 2& -3\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$.

​ 求出特征值：${\lambda }_1=0$，${\lambda }_{2,3}=2$,谱半径$\rho ={\max }_{1⩽i⩽n}\left|{\lambda }_i\right|=2>1$，不收敛。