【C语言 数据结构】数组与对称矩阵的压缩存储

数组的定义

提到数组，大家首先会想到的是：很多编程语言中都提供有数组这种数据类型，比如 C/C++、Java、Go、C# 等。但本节我要讲解的不是作为数据类型的数组，而是数据结构中提供的一种叫数组的存储结构。

和线性存储结构相比，数组最大的不同是：它存储的数据可以包含多种“一对一”的逻辑关系。举个简单的例子：

上图中，{a1, a2, a3, a4}、{b1, b2, b3, b4}、{c1, c2, c3, c4}、{d1, d2, d3, d4} 中各自包含的元素具有“一对一”的逻辑关系，同时 a、b、c、d 这 4 个序列也具有“一对一”的逻辑关系。

这样存储不止一种“一对一”逻辑关系的数据，数据结构就推荐使用数组存储结构。

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对于数组存储结构，我们可以这样理解它：数组是对线性表的扩展，是一种“特殊”的线性存储结构，用来存储具有多种“一对一”逻辑关系的数据。

实际场景中，存储具有 N 种“一对一”逻辑关系的数据，通常会建立 N 维数组：

• 一维数组和其它线性存储结构很类似，用来存储只有一种“一对一”逻辑关系的数据：

• 二维数组用来存储包含两种“一对一”逻辑关系的数据。二维数组可以看作是存储一维数组的一维数组
  
• n 维数组用来存储包含 n 种“一对一”逻辑关系的数据，可以看作是存储 n-1 维数组的一维数组；

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数组存储结构还具有一些其它的特性，包括：

• 无论数组的维度是多少，数组中的数据类型都必须一致；
• 数组一旦建立，它的维度将不再改变；
• 数组存储结构不会对内部的元素做插入和删除操作，常见的操作有 4 种，分别是初始化数组、销毁数组、取数组中的元素和修改数组中的元素。

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数组的顺序表示和实现

数组可以是多维的，而顺序表只能是一维的线性空间。要想将 N 维的数组存储到顺序表中，可以采用以下两种方案：

• 以列序为主（先列后行）：按照行号从小到大的顺序，依次存储每一列的元素；
• 以行序为主（先行后序）：按照列号从小到大的顺序，依次存储每一行的元素。

多维数组中，最常用的是二维数组，接下里就以二维数组为例，讲解数组的顺序存储结构。

所示的二维数组按照“列序为主”的方案存储时，数组中的元素在顺序表中的存储状态如下图所示：

同样的道理，按照“行序为主”的方案存储数组时，各个元素在顺序表中的存储状态如图

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顺序表中查找和修改数组元素

注意，只有在顺序表内查找到数组中的目标元素之后，才能对该元素执行读取和修改操作。

在 N 维数组中查找目标元素，需知道以下信息：

• 数组的存储方式；
• 数组在内存中存放的起始地址；
• 目标元素在数组中的坐标。比如说，二维数组中是通过行标和列标来确定元素位置的；
• 数组中元素的类型，即数组中单个数据元素所占内存的大小，通常用字母 L 表示；

根据存储方式的不同，查找目标元素的方式也不同。仍以二维数组为例，如果数组采用“行序为主”的存储方式，则在二维数组 anm 中查找 aij 位置的公式为：

LOC(i, j) = LOC(0, 0) + (i * m + j) * L;

其中，LOC(i, j) 为 aij 在内存中的地址，LOC(0, 0) 为二维数组在内存中存放的起始位置（也就是 a00 的位置）。

而如果采用以列存储的方式，在 anm 中查找 aij 的方式为：

LOC(i, j) = LOC(0, 0) + (j * n + i) * L;

根据以上两个公式，就可以在顺序表中找到目标元素，自然也就可以进行读取和修改操作了。

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代码实现

#include
#include
#include
#include // atoi()
#include // eof()
#include

#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define OK 1
#define ERROR 0
#define INFEASIBLE -1
#define OVERFLOW 3
#define UNDERFLOW 4
typedef int Status; //Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码，如OK等
typedef int Boolean; //Boolean是布尔类型,其值是TRUE或FALSE
typedef int ElemType;

#define MAX_ARRAY_DIM 8 //假设数组维数的最大值为8
typedef struct
{
    ElemType* base; //数组元素基址，由InitArray分配
    int dim; //数组维数
    int* bounds; //数组维界基址，由InitArray分配
    int* constants; // 数组映象函数常量基址，由InitArray分配
} Array;

Status InitArray(Array* A, int dim, ...)
{
    //若维数dim和各维长度合法，则构造相应的数组A，并返回OK
    int elemtotal = 1, i; // elemtotal是元素总值
    va_list ap;
    if (dim<1 || dim>MAX_ARRAY_DIM)
        return ERROR;
    (*A).dim = dim;
    (*A).bounds = (int*)malloc(dim * sizeof(int));
    if (!(*A).bounds)
        exit(OVERFLOW);
    va_start(ap, dim);
    for (i = 0; i < dim; ++i)
    {
        (*A).bounds[i] = va_arg(ap, int);
        if ((*A).bounds[i] < 0)
            return UNDERFLOW;
        elemtotal *= (*A).bounds[i];
    }
    va_end(ap);
    (*A).base = (ElemType*)malloc(elemtotal * sizeof(ElemType));
    if (!(*A).base)
        exit(OVERFLOW);
    (*A).constants = (int*)malloc(dim * sizeof(int));
    if (!(*A).constants)
        exit(OVERFLOW);
    (*A).constants[dim - 1] = 1;
    for (i = dim - 2; i >= 0; --i)
        (*A).constants[i] = (*A).bounds[i + 1] * (*A).constants[i + 1];
    return OK;
}

Status DestroyArray(Array* A)
{
    //销毁数组A
    if ((*A).base)
    {
        free((*A).base);
        (*A).base = NULL;
    }
    else
        return ERROR;
    if ((*A).bounds)
    {
        free((*A).bounds);
        (*A).bounds = NULL;
    }
    else
        return ERROR;
    if ((*A).constants)
    {
        free((*A).constants);
        (*A).constants = NULL;
    }
    else
        return ERROR;
    return OK;
}

Status Locate(Array A, va_list ap, int* off) // Value()、Assign()调用此函数 */
{
    //若ap指示的各下标值合法，则求出该元素在A中的相对地址off
    int i, ind;
    *off = 0;
    for (i = 0; i < A.dim; i++)
    {
        ind = va_arg(ap, int);
        if (ind < 0 || ind >= A.bounds[i])
            return OVERFLOW;
        *off += A.constants[i] * ind;
    }
    return OK;
}

Status Value(ElemType* e, Array A, ...) //在VC++中，...之前的形参不能是引用类型
{
    //依次为各维的下标值，若各下标合法，则e被赋值为A的相应的元素值
    va_list ap;
    Status result;
    int off;
    va_start(ap, A);
    if ((result = Locate(A, ap, &off)) == OVERFLOW) //调用Locate()
        return result;
    *e = *(A.base + off);
    return OK;
}

Status Assign(Array* A, ElemType e, ...)
{
    //依次为各维的下标值，若各下标合法，则将e的值赋给A的指定的元素
    va_list ap;
    Status result;
    int off;
    va_start(ap, e);
    if ((result = Locate(*A, ap, &off)) == OVERFLOW) //调用Locate()
        return result;
    *((*A).base + off) = e;
    return OK;
}

int main()
{
    Array A;
    int i, j, k, * p, dim = 3, bound1 = 3, bound2 = 4, bound3 = 2; //a[3][4][2]数组
    ElemType e, * p1;
    InitArray(&A, dim, bound1, bound2, bound3); //构造3＊4＊2的3维数组A
    p = A.bounds;
    printf("A.bounds=");
    for (i = 0; i < dim; i++) //顺序输出A.bounds
        printf("%d ", *(p + i));
    p = A.constants;
    printf("\nA.constants=");
    for (i = 0; i < dim; i++) //顺序输出A.constants
        printf("%d ", *(p + i));
    printf("\n%d页%d行%d列矩阵元素如下:\n", bound1, bound2, bound3);
    for (i = 0; i < bound1; i++)
    {
        for (j = 0; j < bound2; j++)
        {
            for (k = 0; k < bound3; k++)
            {
                Assign(&A, i * 100 + j * 10 + k, i, j, k); // 将i*100+j*10+k赋值给A[i][j][k]
                Value(&e, A, i, j, k); //将A[i][j][k]的值赋给e
                printf("A[%d][%d][%d]=%2d ", i, j, k, e); //输出A[i][j][k]
            }
            printf("\n");
        }
        printf("\n");
    }
    p1 = A.base;
    printf("A.base=\n");
    for (i = 0; i < bound1 * bound2 * bound3; i++) //顺序输出A.base
    {
        printf("%4d", *(p1 + i));
        if (i % (bound2 * bound3) == bound2 * bound3 - 1)
            printf("\n");
    }
    DestroyArray(&A);
    return 0;
}

矩阵的压缩存储

特殊矩阵

这里所说的特殊矩阵，主要分为以下两类：

• 含有大量相同数据元素的矩阵，比如对称矩阵；
• 含有大量 0 元素的矩阵，比如稀疏矩阵、上（下）三角矩阵；

针对以上两类矩阵，数据结构的压缩存储思想是：矩阵中的相同数据元素（包括元素 0）只存储一个

数据元素沿主对角线对应相等，这类矩阵称为对称矩阵，矩阵中有两条对角线，对角线称为主对角线，另一条从左下角到右上角的对角线为副对角线。对称矩阵指的是各数据元素沿主对角线对称的矩阵。

对称矩阵的实现过程是，若存储下三角中的元素，只需将各元素所在的行标 i 和列标 j 代入下面的公式：

存储上三角的元素要将各元素的行标 i 和列标 j 代入另一个公式：

最终求得的 k 值即为该元素存储到数组中的位置（矩阵中元素的行标和列标都从 1 开始）。

例如，在数组 skr[6] 中存储图 1 中的对称矩阵，则矩阵的压缩存储状态如图所示（存储上三角和下三角的结果相同）：

注意，以上两个公式既是用来存储矩阵中元素的，也用来从数组中提取矩阵相应位置的元素。例如，如果想从图中的数组提取矩阵中位于 (3,1) 处的元素，由于该元素位于下三角，需用下三角公式获取元素在数组中的位置，即：

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稀疏矩阵

如果矩阵中分布有大量的元素 0，即非 0 元素非常少，这类矩阵称为稀疏矩阵。

压缩存储稀疏矩阵的方法是：只存储矩阵中的非 0 元素，与前面的存储方法不同，稀疏矩阵非 0 元素的存储需同时存储该元素所在矩阵中的行标和列标。

例如，存储上图中的稀疏矩阵，需存储以下信息：

• (1,1,1)：数据元素为 1，在矩阵中的位置为 (1,1)；
• (3,3,1)：数据元素为 3，在矩阵中的位置为 (3,1)；
• (5,2,3)：数据元素为 5，在矩阵中的位置为 (2,3)；
• 除此之外，还要存储矩阵的行数 3 和列数 3；

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**若对其进行压缩存储，矩阵中各非 0 元素的存储状态如图 **

三元组的结构体

//三元组结构体
typedef struct {
    int i,j;//行标i，列标j
    int data;//元素值
}triple;

由于稀疏矩阵中非 0 元素有多个，因此需要建立 triple 数组存储各个元素的三元组。除此之外，考虑到还要存储矩阵的总行数和总列数，因此可以采用以下结构表示整个稀疏矩阵：

#define number 20
//矩阵的结构表示
typedef struct {
    triple data[number];//存储该矩阵中所有非0元素的三元组
    int mu, nu, tu;//mu和nu分别记录矩阵的行数和列数，tu记录矩阵中所有的非0元素的个数
}TSMatrix;

#include
#define NUM 3
//存储三元组的结构体
typedef struct {
    int i, j;
    int data;
}triple;
//存储稀疏矩阵的结构体
typedef struct {
    triple data[NUM];
    int mu, nu, tu;
}TSMatrix;
//输出存储的稀疏矩阵
void display(TSMatrix M);
int main() {
    TSMatrix M;
    M.mu = 3;
    M.nu = 3;
    M.tu = 3;
    M.data[0].i = 1;
    M.data[0].j = 1;
    M.data[0].data = 1;
    M.data[1].i = 2;
    M.data[1].j = 3;
    M.data[1].data = 5;
    M.data[2].i = 3;
    M.data[2].j = 1;
    M.data[2].data = 3;
    display(M);
    return 0;
}
void display(TSMatrix M) {
    int i, j, k;
    for (i = 1; i <= M.mu; i++) {
        for (j = 1; j <= M.nu; j++) {
            int value = 0;
            for (k = 0; k < M.tu; k++) {
                if (i == M.data[k].i && j == M.data[k].j) {
                    printf("%d ", M.data[k].data);
                    value = 1;
                    break;
                }
            }
            if (value == 0)
                printf("0 ");
        }
        printf("\n");
    }
}

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