hdu4623：crime 数学优化dp

鞍山热身赛的题，也是去年多校原题

题目大意：

求n个数的排列中满足相邻两个数互质的排列的数量并取模

当时的思路就是状压dp.. dp[i][state]  state用二进制记录某个数是否被取走，i 表示当前序列末尾的数字

然后gcd状态转移

可是n是28，算了一下有几亿个状态。。没法做。。

回来之后找了题解发现可以用数学方法优化，于是搞了半天终于ac了

首先在这个问题中：

两个数是否互质只与他们的质因数有关，所以质因数相同的数是等价的，称作此问题的等价类

质因数找到这些等价类，并得到每个类中的数的数量是很容易的。。

所以只需要对这些等价类进行处理，最后对每个等价类再乘以数量的排列数就可以得到答案了。

不过此时有了数量，就不能用二进制状压了，应该采用哈希来状压。

研究了一会发现哈希状压和二进制状压差不多，只不过把基数从(1+1)^n变成了 (num[1]+1)*(num[2]+1)....也是很好理解的

这些状态处理完，发现对于n=28只有 5600000个状态了，等价类数是17 所以复杂度是17*5600000

一交MLE了。由于取模最大30000，把数组改为short，中间结果int防溢出，不爆内存了。

然后时限30s，以为可以过，结果又T了。。

于是又想了一会，发现17，19，23这三个数与其他任意一个数的互质。。所以他们与 1 是等价的

加了这个优化以后复杂度下降到约为 14*1800000

8800ms AC...

代码如下

#include<stdio.h>

#include<string.h>

#include<algorithm>

using namespace std;

const int prime[]={2,3,5,7,11,13,17,19,23};

const int np=9;

int state[30];

int g[300][300];

int vi[300];

int num[30];

int base[30];

short dp[19][2000000];

bool ok[29];

int n,m,ns,st;

void ini()

{

    scanf("%d%d",&n,&m);

    memset(g,0,sizeof(g));

    memset(vi,0,sizeof(vi));

    memset(num,0,sizeof(num));

    ns=0;

    state[++ns]=0;

    num[ns]=1;

    for(int i=2;i<=n;i++)

    {

        st=0;

        if(ok[i])

        {

            num[1]++;

            continue;

        }

        for(int j=0;j<np;j++)

        {

            if(i%prime[j]==0)

            {

                st|=(1<<j);

            }

        }

        if(!vi[st])

        {

            state[++ns]=st;

            num[ns]=1;

            vi[st]=ns;

        }

        else

        {

            num[vi[st]]++;

        }

    }

    for(int i=1;i<=ns;i++)

    {

        for(int j=1;j<=ns;j++)

        {

            if((state[i]&state[j])==0)

                g[i][j]=1;

        }

    }

    base[1]=1;

    st=0;

    for(int i=1;i<=ns;i++)

    {

        base[i+1]=base[i]*(num[i]+1);

        st+=base[i]*num[i];

    }

}

int getnum(int i,int x)

{

    int res=(x%base[i+1])/(base[i]);

    return res;

}

int getstate(int i,int num)

{

    return num*base[i];

}

void dfs(int t,int x)

{

    if(t==0)

    {

        dp[x][0]=1;

        return ;

    }

    if(dp[x][t]!=-1)

        return;

    dp[x][t]=0;

    for(int i=1;i<=ns;i++)

    {

        if(g[x][i]&&getnum(i,t)>=1)

        {

            dfs(t-base[i],i);

            dp[x][t]=((int)dp[x][t]+dp[i][t-base[i]])%m;

        }

    }

    return;

}

int main()

{

    #ifndef ONLINE_JUDGE

        freopen("in.txt","r",stdin);

    #endif // ONLINE_JUDGE

    int T;

    scanf("%d",&T);

    memset(ok,0,sizeof(ok));

    ok[17]=1;

    ok[19]=1;

    ok[23]=1;

    while(T--)

    {

        ini();

        memset(dp,-1,sizeof(dp));

        int ans=0;

        for(int i=1;i<=ns;i++)

        {

            dfs(st-base[i],i);

            ans=((int)ans+dp[i][st-base[i]])%m;

        }

        for(int i=1;i<=ns;i++)

        {

            while(num[i]>1)

            {

                ans=((int)ans*num[i])%m;

                num[i]--;

            }

        }

        printf("%d\n",ans);

    }

}