用“截长补短法”作辅助线解数量关系几何题

“截长补短”是初中几何证明题中十分重要的方法，通常用来证明几条线段的数量关系。截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等， 然后证明剩下部分等于另 一条；补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，然后证明延长后的总线段与长线段相等。

今天，我给大家介绍一道用“截长补短法”作辅助线解数量关系几何题。

如图一所示，点E是正方形ABCD边AB上的一点，连接EC，点F是线段EC上的一个支点（不与点E、C重合），直线DF交直线BC于点G。当CF=CD时，用等式表示BE、EC、CG之间的数量关系，并证明。

从图中的位置关系，我们可以大胆地设想这三条线段的数量关系是：CG=BE+CE。

我们该怎么证明呢？这就要用到“截长补短”。

我们先来试试补短。如图二所示，延长CE到H，使EH=BE，可得到CH=CE+BE。

我们连接BH，为了方便表述，我们把几个角分别标上数字1、2、3、4、5。

在△BCH与△FCG中。∠4=∠4，BC-CF

我们只要能证明∠CBH=∠CBG，就能证明△BCH与△FCG全等，CH=CG

∠CBH=∠5+90°

∠CFG=180°-∠3=180°-∠2=180°-（90°-∠1）=90°+∠1

因为无法证明∠5=∠1，也就不能证明∠CBH=∠CBG。

既然补短不容易，我们就再来尝试截长。

如图三所示，在CG上截取CH=BE，连接DH。

为了方便后面的表述，我们把几个角分别标上数字1、2、3、4。

在△ACH与△CBE中

CD=CB

∠BCD=∠ABC=90°

CH=BE

所以△ACH≌△CBE，CE=DH，∠1=∠2

我们现在只需证明GH=DH，就能完成此题的要求。

由题中已知条件CF=CD，可推出∠4=∠2+∠3

∠4是△CFG的一个外角，所以∠4=∠1+∠G

所以∠3=∠G，△DGH是等腰三角形，GH=DH

CG=CH+GH=BE+CE。

这是我对这道题的证明，希望能朋友们有所帮助，更期待您有更简便的方法。