hdu5136：组合计数、dp

题目大意：

求直径长度为N的无根二叉树的个数（同构的只算一种）

分析：

分析发现直径长度不好处理！因此考虑把问题转化一下：

假设要求直径为N的二叉树

（1）

若N为偶数，将树从直径中点的边断开，则分成了两个深度为 n/2 的有根树

(为什么要这么分？因为若深度大于 n/2 那么子书的直径就有可能大于n了！)

用num[n/2]代表n/2的有根树的个数 那么答案则为  c(num[n/2],2)+num[n/2]。。

（注意判重，c(x,x)部分代表两个子树不一样的情况，后面单独的num[]代表两个子树相同的情况，后面的统计跟这个类似，不过会麻烦一下，具体就不写了）

（2）

若N为奇数，直径中点是一个点，显然这个点可以连两个或者三个子树

其中至少有两个子树的深度为 n/2，还有一个子树可能为 0~n/2          （此处均为整数除法）

统计的时候分几种情况统计一下，！！记得注意判重，同时用 sum[n/2-1]保存 0~n/2-1的前缀和。

******

以上解决了统计答案的问题，剩下的问题是如何求出 深度为K的有根数的个数！

对于一个深度为K的树，先确定它的根，那么根的左右子树中至少有一个子树的深度为 K-1 ,另外一个可能为 0~K-1

还是记录前缀和，统计一下加上判重就好了

代码：

#include <iostream>

#include <stdio.h>

#include<string.h>

#include<algorithm>

#include<string>

#include<ctype.h>

using namespace std;

#define mod 1000000007

#define inv2 500000004

#define inv3 333333336

long long sum[100010];

long long num[100010];

void ini()

{

    num[1]=sum[1]=1;

    num[2]=2;

    sum[2]=3;

    for(int i=3;i<=100000;i++)

    {

        num[i]=((num[i-1]+1)*num[i-1]%mod*inv2%mod+num[i-1]*(sum[i-2]+1)%mod)%mod;

        sum[i]=(sum[i-1]+num[i])%mod;

    }

}

int main()

{

    ini();

    int n;

    while(scanf("%d",&n),n)

    {

        if(n==1)

        {

            puts("1");

            continue;

        }

        long long ans;

        if(n%2)

        {

            ans=(num[n/2]-1)*(num[n/2])%mod*(num[n/2]-2)%mod*inv2%mod*inv3%mod;

            ans=(ans+num[n/2]*(num[n/2]-1)%mod)%mod;

            ans=(ans+num[n/2])%mod;

            ans=(ans+((num[n/2]-1)*num[n/2]%mod*inv2%mod+num[n/2])%mod*(sum[n/2-1]+1)%mod)%mod;

        }

        else

        {

            ans=((num[n/2]-1)*(num[n/2])%mod*inv2%mod+num[n/2])%mod;

        }

        cout<<ans<<endl;

    }

    return 0;

}