数据结构与算法——复习总结

线性表

线性表括顺序表和链式表。

栈（Stack）是只允许在一端进行插入或删除操作的线性表。应用：表达式求值，函数递归调用

队列（Queue）是只允许在一端进行插入，在另一端删除的线性表。应用：树和图的广度优先遍历，操作系统FCFS算法

双端队列：只允许从两端插入、两端删除的线性表

前缀、后缀、中缀表达式

串

KMP算法

假设匹配字符串为s，模板字符串为t，算法核心是计算出一个next数组，next[j]的含义是当模板字符串的t[j]不匹配时，往后挪移到next[j]下标的位置。

树

树是由零个或多个结点组成的具有层级关系的数据结构。

树是n（n≥0）个结点的有限集合，n = 0时，称为空树，这是一种特殊情况。在任意一棵非空树中应满足：
1）有且仅有一个特定的称为根的结点。
2）当n > 1时，其余结点可分为m（m > 0）个互不相交的有限集合T1, T2,…, Tm，其中每个集合本身又是一棵树，并且称为根结点的子树。

属性:

• 结点的层次(深度）―—从上往下数
• 结点的高度――从下往上数
• 树的高度（深度）――总共多少层
• 结点的度――有几个孩子(分支)，树的结点数 = 各结点度数之和 + 1
• 树的度――各结点的度的最大值

有序树——逻辑上看，树中结点的各子树从左至右是有次序的，不能互换。反之就是无序树

森林。森林是m（m≥0）棵互不相交的树的集合

二叉树

二叉树是有序树

特殊二叉树：

• 满二叉树，每层都是满的
• 完全二叉树，除了最后一层可以不满
• 二叉排序树（二叉查找树、二叉搜索树）：对于每个结点，左子树所有结点值 < 父节点值 < 右子树所有节点值，不允许结点之间有重复值。
• 平衡二叉树。树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1

二叉树遍历：先序Preorder——根、左、右；中序Inorder——左、根、右；后序Postorder——左、右、根；bfs层序遍历

线索二叉树是对二叉树进行线索化，使某些二叉树节点可以直接访问到左右子节点以外的节点。
对于二叉树进行先序遍历得到一个先序序列，先序线索化结点的左孩子指向序列中的前驱节点，右孩子指向后继节点。
同样的，依据中序序列、后序序列可以得到中序、后序的线索二叉树。

树和二叉树之间的转换，左孩子右兄弟

森林和二叉树的转换依然是左孩子右兄弟，森林中各个树的根结点视为兄弟关系

二叉排序树

二叉排序树的插入：若原二叉排序树为空，则直接插入结点；否则，若关键字k小于根结点值，则递归插入到左子树（如果左子树为空则直接挂在左孩子结点上），若关键字k大于根结点值，则递归插入到右子树（同上）。

对于二叉排序树来说，它的中序遍历序列是一个递增序列。

二叉排序树的删除：
① 若被删除结点z是叶结点，则直接删除，不会破坏二叉排序树的性质。
② 若结点z只有一棵左子树或右子树，则让z的子树成为z父结点的子树，替代z的位置。
③ 若结点z有左、右两棵子树，我们删除左子树中值最大的结点或者右子树中值最小的结点，然后用该节点替换结点z即可。
在这里要解释一下，由于中序遍历是递增的，所以左子树值最大的结点就是中序序列中z结点的前驱节点，右子树中值最小的结点就是z节点的后继节点。
对于左子树值最大的节点，因为它的值在子树中是最大的，所以必然不含右孩子，所以肯定符合情况①或情况②，很容易删除；对于右子树中值最小的结点也是同样的道理。
其实还有一种寻找左子树中值最大的结点的方法，从左子节点开始，递归搜索它的右孩子，右孩子为空时，该节点就是左子树中值最大的结点。

平衡二叉树

平衡二叉树，也就是每个结点的左右子树高度不超过1，关键问题在于插入新结点时如何维护二叉树的平衡性。
在插入结点时，每次调整的对象都是“最小不平衡子树”
结点的平衡因子=左子树高-右子树高。

LL和RR很像，是对称的关系

LR和RL待补充。。。。

哈夫曼树

结点的权：有某种现实含义的数值（如：表示结点的重要性等）
结点的带权路径长度：从树的根到该结点的路径长度（经过的边数）与该结点上权值的乘积
树的带权路径长度：树中所有叶结点的带权路径长度之和（WPL,Weighted Path Length）

在含有n个带权叶结点的二叉树中，其中**带权路径长度（WPL）**最小的二叉树称为哈夫曼树，也称最优二叉树

图

对于无向图：顶点v的度是指依附于该顶点的边的条数，记为TD(v)。

对于有向图：
入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)；
出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD(v)。
顶点v的度等于其入度和出度之和，即TD(v) = ID(v) + OD(v)。

连通的概念存在于无向图中，强连通的概念存在于有向图中

若图G中任意两个顶点都是连通的，则称图G为连通图，否则称为非连通图。
若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。

无向图中的极大连通子图称为连通分量。
有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

无向完全图——无向图中任意两个顶点之间都存在边
有向完全图——有向图中任意两个顶点都存在都存在方向相反的两条弧

特殊的图：
树——不存在回路，且连通的无向图
有向树——一个顶点的入度为0、其余顶点的入度均为1的有向图，称为有向树。

邻接矩阵存图，空间复杂度O(V ^ 2), V是顶点数
邻接表存图，空间复杂度O(V + E)，E是边数

十字链表存有向图、邻接多重表存无向图待补充。。。

图的遍历

BFS广度优先遍历对应广度优先生成树


BFS，对应深度优先生成树

最小生成树

很简单，不说了。

最短路

bfs可以求无权最短路。

dijkstra求单源最短路，要求边权为非负数，复杂度O(V ^ 2)
floyd求多源最短路，边权可以为负数

拓扑排序，逆拓扑排序

EOV图的关键路径，求关键路径步骤如下：

• 起始事件的最早开始时间是0，顺着箭头的方向正向推导，求得各个事件的最早开始时间。代码上体现为BFS。
• 在上个步骤中已求得结束事件的最早开始时间，结束事件的最晚开始时间等于最早开始时间，然后逆着箭头的方向倒着推导，求出各个时间的最晚开始时间。代码上体现为BFS。
• 最早开始时间等于最晚开始时间的事件组成的路径，就是关键路径。

活动的最早开始事件等于前驱事件的最早开始事件，活动的最晚开始时间等于后继事件的最晚开始时间 - 活动持续时间

查找

折半查找时间复杂度= O(log2n)
顺序查找的时间复杂度= O(n)

B树

B树是二叉排序树的plus版，一个结点内可以多个值，一个结点可以有多个子结点。结点内的值是有序的，多个子结点的值之间也是有序的。
m阶B树每个结点至多含有m-1个关键字

B树的插入与删除

这篇文章写的比较好

B树的插入操作，一定是插入到树的叶子结点里，从树根开始递归搜索，找到应该插入的那个叶子结点然后插入即可。
如果插入后叶子结点的值个数等于树的阶，那么需要把这个结点以中间值为界限分裂成两个结点，把中间值送给父节点。如果父节点的值的个数也等于树的阶，那么对父节点递归进行分裂操作。

B+树

在B树中，叶子结点和非叶子结点都可以存放值，然而B+树的非叶子节点是不保存数据的，只起到索引作用，它的叶子节点才保存数据。

B+ 树 的数据结构中，叶子节点之间形成了单向链表。每一个节点的指针，通过叶子节点指向下一个元素。

典型应⽤：关系型数据库的“索引”（如MySQL）
在B+树中，⾮叶结点不含有该关键字对应记录的存储地址。 可以使⼀个磁盘块可以包含更多个关键字，使得B+树的阶更⼤，树⾼更矮，读磁盘次数更少，查找更快

红黑树

散列查找 hash查找

散列表（Hash Table），⼜称哈希表。是⼀种数据结构，特点是：数据元素的关键字与其存储地址直接相关

把key值映射到hash表的过程称为散列函数，常⻅的散列函数：除留余数法 —— H(key) = key % p

当有两个key映射到相同的hash值时，我们称之为哈希冲突，可以使用“拉链法”解决这种冲突，也就是邻接表，如下图所示，

也可以用开放定址法解决冲突，当插入元素存在hash冲突时把它存放在邻近的空位置里，如下图中的1、68、27，他们的hash值本来都是1，但因为冲突所以变成了2 3 4。

如何确定具体存放在哪个相邻位置里，与查找哈希表时的探测方法有关：
①线性探测法—— di = 0, 1, 2, 3, …, m-1；即发⽣冲突时，每次往后探测相邻的下⼀个单元是否为空。我们把冲突的元素存储在高于当前hash地址且最邻近的空位置里，如下图中的1、68、27，他们的hash值本来都是1，但因为冲突所以变成了2 3 4。
②平⽅探测法。当di = 02, 12, -12, 22, -22, …, k2, -k2时，称为平⽅探测法，⼜称⼆次探测法其中k≤m/2。我们把冲突的元素存储当前hash地址加减k ^ 2的位置。
③伪随机序列法。di 是⼀个伪随机序列，如 di= 0, 5, 24, 11, …

排序

插入排序

将元素插入有序区间时，可使用二分查找来优化。

希尔排序

希尔排序：先将待排序表分割成若⼲形如 L[i, i + d, i + 2d,…, i + kd] 的“特殊”⼦表，对各个⼦表分别进⾏直接插⼊排序。缩⼩增量d，重复上述过程，直到d=1为⽌。
初始增量选择n/2，每次迭代增量减半

冒泡排序

按照某种大小规则连续交换相邻两个元素的位置，使最大或最小的元素冒泡到序列首部或尾部，然后对剩余序列重复冒泡操作。

快速排序

在一段序列中随便选一个数，不妨计这个数为v，然后对序列元素进行一系列交换操作，使v左边的元素均小于v，v右边的元素均大于v。这样就把序列分成了三段，左边的都小于v，中间的都等于v，右边的都大于v，对左右子序列递归上述操作，即可完成排序。

排序不稳定。不适用链表。

时间复杂度=O(n*递归层数)
最好时间复杂度=O(nlog2n)
最坏时间复杂度=O(n2)
平均时间复杂度=O(nlog2n)

空间复杂度=O(递归层数)
最好空间复杂度=O(log2n)
最坏空间复杂度=O(n)

若序列原本就有序或逆序，则时、空复杂度最⾼（可优化，尽量选择可以把数据中分的枢轴元素。）

选择排序

遍历一个序列，选出最小的数把它挪动到序列头部。然后对除首部以外的剩余序列迭代上述操作，即可完成排序。

堆排序

堆是一种完全二叉树，对于每一个子树来说，都满足这样一个性质：子树的根节点的值是该子树所有结点的最大值或最小值。

用顺序表存堆比较方便。

堆的插入和删除就是简单的pushup和pushdown操作，建立堆可以看作是把一系列元素插入一个空堆。

借助堆的特性实现排序，称作堆排序。

归并排序

归并排序的内容：对于一个序列，把它分成左右两部分，然后对左右子序列分别递归调用归并排序，然后把左右两个有序的子序列合并为一个有序的序列。

基数排序

假设关键字可以拆成d个部分，每个部分可能取得r个值，总共有n个元素，那么：

• 需要 r 个辅助队列，空间复杂度 = O®
• ⼀趟分配O(n)，⼀趟收集O®，总共 d 趟分配、收集，总的时间复杂度=O(d(n+r)）

外部排序

指要排序的数据存储在外存中，也就是磁盘中。

磁盘的读/写以“块”为单位数据读⼊内存后才能被修改修改完了还要写回磁盘