Eigen库中MatrixXd类型与VectorXd类型的相互映射与数据复制

   一、Eigen库的Map功能

   Eigen库的Map功能是一个强大的工具，用于将现有的数据（例如数组或其他线性代数库的数据结构）映射到Eigen矩阵或向量中，而无需复制数据。这种映射可以大大提高性能，因为它避免了不必要的数据复制，同时允许你使用Eigen库的功能来操作这些数据。以下是关于Eigen库的Map功能的详细介绍：

   1. 创建Map对象：

   要使用Map功能，首先需要创建一个Map对象。通常，你会指定要映射的数据的类型和指针。例如：

double data[] = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0};
Eigen::Map<Eigen::MatrixXd> matrix(data, 2, 3);

   在这个例子中，我们创建了一个Map对象matrix，将一个双精度浮点数数组data映射到一个2x3的Eigen矩阵中。数据指针是data，数据类型是Eigen::MatrixXd（通用的矩阵类型）。

   2. 使用映射数据：

   一旦创建了Map对象，你可以像使用任何其他Eigen矩阵或向量一样使用它。你可以执行矩阵运算、访问元素等操作。例如：

Eigen::MatrixXd result = matrix.transpose() * matrix;

   这行代码计算了matrix的转置与自身的乘积，并将结果存储在result中。

   3. 避免数据复制：

   一个关键的优势是，Map对象不会复制数据，而是直接引用现有数据。这意味着对Map对象的修改会影响到原始数据，反之亦然。这可以大大减少内存开销和提高性能。

   4. 数据格式与Eigen兼容性：

   Map对象允许你将外部数据以与Eigen库兼容的方式映射到Eigen矩阵或向量中。这意味着你可以与其他库（如STL容器、C数组等）交互，并将它们与Eigen库的功能结合使用。

   总的来说，Eigen库的Map功能使我们能够有效地使用外部数据，并利用Eigen库的高性能线性代数功能，同时避免了数据的不必要复制。这对于需要与其他库或外部数据源进行交互的应用程序非常有用。

   二、MatrixXd类型到VectorXd类型的映射

   下面的给出中给出了一个将Eigen::MatrixXd 类型的2行3列的变量q，通过map功能映射到一个Eigen::VectorXd类型的列向量p中的例子

#include 
#include 

int main() {
    int n = 3; // 举例，你可以设置合适的 n 值
    Eigen::MatrixXd q(2, n);
    
    // 假设将 q 填充为一些数据
    for (int i = 0; i < 2; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            q(i, j) = static_cast<double>(i * n + j);
        }
    }
    
    // 使用 Map 将 q 映射到 VectorXd
    Eigen::Map<Eigen::VectorXd> p(q.data(), 2 * n);
    
    // 输出 q 的内容
    std::cout << "q:\n" << q << "\n";
    
    // 输出 p 的内容
    std::cout << "p:\n" << p << "\n";

    return 0;
}

   其运行结果如下：

q:
0 1 2
3 4 5
p:
0
3
1
4
2
5

   通过第一部分的第3点内容介绍可知，Map对象不会复制数据，而是直接引用现有数据。这意味着对Map对象的修改会影响到原始数据，下面我们来对向量p中的元素进行修改，将p中第0个元素改为666，第3个元素改为999，然后再打印出q和p的元素

#include 
#include 

int main() {
    int n = 3; // 举例，你可以设置合适的 n 值
    Eigen::MatrixXd q(2, n);

    // 假设将 q 填充为一些数据
    for (int i = 0; i < 2; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            q(i, j) = static_cast<double>(i * n + j);
        }
    }

    // 使用 Map 将 q 映射到 VectorXd
    Eigen::Map<Eigen::VectorXd> p(q.data(), 2 * n);

    // 输出 q 的内容
    std::cout << "原数据q:\n" << q << "\n";

    // 输出 p 的内容
    std::cout << "原数据p:\n" << p << "\n";

    // 对p中元素进行修改
    p[0] = 666;
    p[3] = 999;

    // 输出 q 的内容
    std::cout << "对p修改后q中的数据:\n" << q << "\n";

    // 输出 p 的内容
    std::cout << "对p修改后p中的数据:\n" << p << "\n";


    return 0;
}

   其运行结果如下：

原数据q:
0 1 2
3 4 5
原数据p:
0
3
1
4
2
5
对p修改后q中的数据:
666   1   2
  3 999   5
对p修改后p中的数据:
666
  3
  1
999
  2
  5

   可以发现对p中的元素进行修该，q中对应的元素也会“自动修改”，因为它们本来就是同一个数据。

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   三、VectorXd类型到MatrixXd类型的映射

   同理，我们可以进行VectorXd类型到MatrixXd类型的映射，Eigen::VectorXd是一个列向量（1列n行），而Eigen::MatrixXd是一个矩阵，通常是多行多列。要将一个Eigen::VectorXd对象映射到一个Eigen::MatrixXd对象，你需要确保维度匹配。具体来说，如果你的Eigen::VectorXd p包含2n个数据，你可以将其映射到一个2xn的Eigen::MatrixXd对象。

   下面的示例中，VectorXd类型变量p中含有2n个元素，将其映射到一个2xn的MatrixXd类型变量q中，同样，q中的数据与p共享，这意味着对q 的修改也会影响到 p，反之亦然。

#include 
#include 

int main() {
    int n = 3; // 举例，你可以设置合适的n值
    Eigen::VectorXd p(2 * n);

    // 假设将p填充为一些数据
    for (int i = 0; i < 2 * n; ++i) {
        p(i) = static_cast<double>(i);
    }

    // 使用Map将p映射到MatrixXd
    Eigen::Map<Eigen::MatrixXd> q(p.data(), 2, n);

    // 输出 p 的内容
    std::cout << "p:\n" << p << "\n";
    
    // 现在，q是一个2x3的矩阵，数据与p共享
    std::cout << "q:\n" << q << "\n";

    return 0;
}

   其运行结果如下：

p:
0
1
2
3
4
5
q:
0 2 4
1 3 5

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   四、MatrixXd类型到VectorXd类型的复制（不推荐）

   如果不想采用以上的map映射的方法，要将Eigen::MatrixXd类型的变量p中的每个数据存储到Eigen::VectorXd类型的变量q中，也可以使用Eigen库的一些内置函数和操作来完成这个任务。以下是一种方法：

#include 
#include 

int main() {
    Eigen::MatrixXd p(3, 3); // 创建一个3x3的矩阵
    p << 1, 2, 3,
         4, 5, 6,
         7, 8, 9;

    Eigen::VectorXd q(p.rows() * p.cols()); // 创建一个大小足够存储p中所有数据的向量

    // 将p中的数据存储到q中
    for (int i = 0; i < p.rows(); ++i) {
        for (int j = 0; j < p.cols(); ++j) {
            q(i * p.cols() + j) = p(i, j);
        }
    }

    // 打印结果
    std::cout << "p:\n" << p << "\n";
    std::cout << "q:\n" << q << "\n";

    return 0;
}

   在这个示例中，首先创建了一个3x3的Eigen::MatrixXd矩阵p，并将一些示例数据赋给它。然后，创建了一个大小足够容纳所有p中数据的Eigen::VectorXd向量q。接下来，使用嵌套的循环遍历p的每个元素，并将其复制到q中。最后，打印了p和q的值。其运行结果如下：

p:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
q:
1
2
3
4
5
6
7
8
9

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   五、VectorXd类型到MatrixXd类型的复制（不推荐）

   如果不想采用以上的map映射的方法，要将Eigen::VectorXd类型的变量q中的每个数据（共2n个）存储到Eigen::MatrixXd类型的变量p中（p是2xn的矩阵），也可以使用Eigen库的一些内置函数和操作来完成这个任务。以下是一种方法：

#include 

int main() {
    int n = 3; // 假设n为3
    Eigen::VectorXd q(2 * n); // 创建一个包含2n个数据的向量q

    // 填充向量q的数据，这里假设有6个数据
    q << 1, 2, 3, 4, 5, 6;

    Eigen::MatrixXd p(2, n); // 创建一个2x3的矩阵p

    // 将q中的数据存储到p中
    for (int i = 0; i < 2; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            p(i, j) = q(i * n + j);
        }
    }

    // 打印结果
    std::cout << "q:\n" << q << "\n";
    std::cout << "p:\n" << p << "\n";

    return 0;
}

   在这个示例中，首先创建了一个2n维的Eigen::VectorXd向量q，并向其填充了示例数据。然后，创建了一个2x3的Eigen::MatrixXd矩阵p，用于存储q中的数据。接下来，使用嵌套的循环将q中的数据复制到p中。最后，打印q和p的值。可根据实际需求和数据尺寸来调整上述中的变量n以适应不同大小的问题。调整内外循环的顺序来调整转换后数据的存储顺序。其运行结果如下：

q:
1
2
3
4
5
6
p:
1 2 3
4 5 6

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