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红黑树的性质
红黑树的模拟插入
叔叔存在且为红色
叔叔不存在
旋转情况
叔叔存在且为黑色
总结
插入实现
节点
插入逻辑
左单旋
右单旋
红黑树是一颗平衡搜索二叉树,但是红黑树并不像 AVL 树一样是高度平衡二叉树,任意一颗红黑树,它的子树不会超出它任意一个子树高度的二倍。
其中,红黑树的平衡,就是由上面五条决定的。但是这里看到上面的五条并没有提到高度等字眼,红黑树也并不靠高度来维持平衡。
所以通过上面的条件,红黑树的高度虽然比 AVL 树的高度要高,但是红黑树的旋转次数是要比 AVL 树的少的,对于计算机而言,虽然高度可能比 AVL 树高,但是就搜索树的搜索时间复杂度为 O(log n) 来说,即使是红黑树的高度要相差二倍,那么时间复杂度最差也就是 O(log 2n) ,而对于计算机来说,这点时间并不算什么。
红黑树的插入也是有几种情况,这几种情况分别需要不同的对待,所以下面我们看一下。
但是在插入之前,我们先想个问题,我们在插入的时候是插入红色节点呢?还是黑色节点?
这里有一颗红黑树:
假设我们现在要插入的节点是 21:
这时候,我们看到 cur 位置已经插入了节点 21,但是插入之后,该红黑树违反了,“红色节点的孩子节点必须是黑色的” 这一条规定,所以为例维持红黑树,我们需要对其进行变色,或者是旋转等操作来使其依旧是红黑树。
既然上面违反了 “红色几点的孩子节点必须是黑色的”,那么我们在看一下,cur 有没有叔叔节点,如果有的话,那么我们在看一下叔叔节点的颜色是不是红色的,如果都满足的话,那么下面我们就把父亲节点和叔叔节点都变为黑色的,然后把祖父节点变为红色,这样的话,这两条路径的黑色节点数量就不变了:
但是这里变色结束后,我们看到祖父节点是红色的,祖父节点的父亲节点也是红色的,所以我们可以继续刚才的步骤,知道祖父节点的颜色变为黑色,或者是祖父节点没有父亲节点,或者是其他情况的时候就结束,所以这时候,我们将祖父节点赋值给 cur 节点,然后继续啊上面的循环:
这时候,我们的祖父节点没有父亲节点,也就表示祖父节点就是根了,那么也就可以跳出循环,不过跳出循环后,我们的根节点不满足“根节点是黑色的”,这一条规定,所以出了循环之后,我们可以把根节点置为黑色:
在这样变色之后,该红黑树还是红黑树。
上面就是叔叔存在且为红色的情况。
如果是这种情况的话,那么就是叔叔不存在的情况,我们已经插入了 cur 节点,而这时候就是叔叔不存在的情况,那么这时候就不能靠改变父亲的颜色来维持红黑树了,因为这里只把父亲的颜色改变后和把祖父的颜色改变后,那么最右边的路径上黑色节点的数量就变少了,与其他路径的黑色节点的数量不同,所以不能光改变父亲和祖父的颜色,这时候就需要旋转加变色,那么怎么样旋转?这里我们可以对 grandparent 节点进行右单旋,然后将 parent 节点变为黑色,祖父节点变为红色:
下一步就是将祖父节点变为红色,父亲节点变为黑色:
经过这样的旋转和变色之后,该树还是红黑树,不过刚才使用的是右单旋,那么怎么样判断是左单旋,还是右单旋,亦或者是右左双旋,或者是左右双旋?
在红黑树的旋转的判断条件并不是高度,而是看 cur parent 以及 grandparent 三个节点的位置。
1. 如果 parent 是 grandparent 的 left ,并且 cur 也是 parent 的 left ,那么就使用的是右单旋
2. 如果 parent 是 grandparent 的 right,并且 cur 也是 parent 的 right,那么就使用的是左单旋
3. 如果 parent 是 grandparent 的 right,并且 cur 也是 parent 的 left ,那么就使用的是右左双旋
4. 如果 parent 是 grandparent 的 left ,并且 cur 也是 parent 的 right,那么就使用的是左右双旋
所以下面我们看一下叔叔不存在,双旋的情况:
这时候,我们插入的节点是 24 这个节点,然后我们发现叔叔不存在,所以我们需要使用旋转加变色的方案,我们发现 parent 是 grandparent 的左,而 cur 是 parent 的右,所以我们需要使用左右双旋:
先对 parent 进行左单旋
在对 grandparent 进行右单旋
旋转结束后,我们发现颜色不正确,所以我们在这种情况下,需要将grandparent 变为 红色,然后将 cur 变为 黑色。
上面就是叔叔存在且为黑色,我们到 cur 位置插入,但是这里我们先进行叔叔存在且为红色,所以我们向上跟新:
到这时候,就变成叔叔存在且为黑色了,所以这时候我们也不能单靠变色来解决问题,我们需要旋转加变色。
这时候的旋转也是按照上面的规则来的,我们看到parent 是 grandparent 的 右边,cur 是 parent 的右边所以这时候我们使用的是左单旋:
旋转结束后就是这个样子,但是颜色并不符合红黑树,所以我们还需要变色来处理,这种情况下,我们只需要把 grandparent 变为红色,父亲变为黑色:
其实叔叔不存在和叔叔存在且为黑色的情况是相同的,如果是单旋的话,那么就是旋转结束后,将付清的颜色变为黑色,然后将祖父的颜色变为红色,如果是双旋的话,那么就是将 cur 的颜色变为黑色,祖父的颜色变为红色。
下面看一下双旋的情况
这时候 cur 还是插入的节点,这时候我们跟新一次,然后就可以达到叔叔存在且为黑色,并且还是双旋的情况:
此时就是叔叔存在且为黑色,并且我们发现 parent 是grandparent 的右边,cur 是 parent 的左边,所以这里我们使用的是右左双旋:
对 parent 进行右单旋
在对 grandparent 使用左单旋转
这时候,就是将 grandparent 变为红色,然后将 cur 变为 黑色,所以我们在模拟插入后,发现叔叔不存在和存在且为黑的情况是一样的,所以我们后面就可以将叔叔存在且为红色分为一类,和叔叔不存在,或者存在且为黑色,分为一类,将这两类分开处理。
旋转规则上面以及说过了,下面说一下变色:
1. 单旋情况下,将 grandparent 变为红色, parent 变为黑色
2. 双旋情况下,将 grandparent 变为红色, cur 变为黑色
enum Colour
{
RED,
BLACK
};
template
struct RBTreeNode
{
pair _kv;
RBTreeNode* _left;
RBTreeNode* _right;
RBTreeNode* _parent;
Colour _col;
RBTreeNode(const pair& kv)
:_kv(kv)
,_left(nullptr)
,_right(nullptr)
,_parent(nullptr)
,_col(RED)
{}
};
bool insert(const pair& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
// 根节点为空,插入到根节点
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* cur = _root, *parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
// 里面右重复值,插入失败
return false;
}
}
// 找到插入位置了
cur = new Node(kv);
cur->_parent = parent;
if (parent->_kv.first < kv.first)
parent->_right = cur;
else
parent->_left = cur;
// 维护红黑树
//当父亲不为空,并且父亲的颜色是红色就继续调整
while (parent && parent->_col == RED)
{
Node* grandfather = parent->_parent;
if (parent == grandfather->_left)
{
// parent 是 grandfather 的左边
// g
// p
Node* uncle = grandfather->_right;
// 如果叔叔存在,且叔叔的颜色为红色
// 那么就将叔叔和父亲的颜色全都改为黑色,然后将祖父的颜色改为红色
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//向上迭代
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
// 叔叔不存在或者叔叔存在但是叔叔的颜色为黑色
if (cur == parent->_left)
{
// g
// p
// c
//右单旋
RotateR(grandfather);
//将父亲的节点变为黑色,祖父的节点变为红色
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
else
{
// g
// p
// c
//左右双旋
RotateL(parent);
RotateR(grandfather);
//将cur 的颜色变为黑色,祖父的节点变为红色
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
}
}
else
{
// parent 是 grandfather 的右边
// g
// p
Node* uncle = grandfather->_left;
// 如果叔叔存在,且叔叔的颜色为红色
// 那么就将叔叔和父亲的颜色全都改为黑色,然后将祖父的颜色改为红色
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
parent->_col = uncle->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
//向上迭代
cur = grandfather;
parent = cur->_parent;
}
else
{
// 叔叔不存在或者叔叔存在但是叔叔的颜色为黑色
if (cur == parent->_right)
{
// g
// p
// c
//左单旋
RotateL(grandfather);
//将父亲的节点变为黑色,祖父的节点变为红色
parent->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
else
{
// g
// p
// c
//右左双旋
RotateR(parent);
RotateL(grandfather);
//将cur 的颜色变为黑色,祖父的节点变为红色
cur->_col = BLACK;
grandfather->_col = RED;
break;
}
}
}
}
_root->_col = BLACK;
return true;
}
而旋转,我们以及在 AVL 就以及说过了,树的旋转是搜索树的旋转规则,并不是AVL 树或者红黑树特有的,所以旋转是通用的,只是红黑树的旋转不需要维持平衡因子,只需要旋转即可。
// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_right;
Node* curLeft = cur->_left;
parent->_right = curLeft;
if (curLeft)
{
curLeft->_parent = parent;
}
cur->_left = parent;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = cur;
if (pparent == nullptr)
{
// parent 就是根节点
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == pparent->_left)
{
pparent->_left = cur;
}
else
{
pparent->_right = cur;
}
cur->_parent = pparent;
}
}
//右单旋
void RotateR(Node* parent)
{
Node* cur = parent->_left;
Node* curRight = cur->_right;
parent->_left = curRight;
if (curRight)
{
curRight->_parent = parent;
}
cur->_right = parent;
Node* pparent = parent->_parent;
parent->_parent = cur;
if (pparent == nullptr)
{
// 说明 parent 是根节点
_root = cur;
cur->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == pparent->_left)
{
pparent->_left = cur;
}
else
{
pparent->_right = cur;
}
cur->_parent = pparent;
}
}