Klein-Gordon方程

这节主要介绍Klein-Gordon方程，并从Maxwell方程组中得到无质量的自由光子满足的方程，从而得到光子的极化矢量。

Klein-Gordon方程也是描述相对论性粒子的波函数方程，与Dirac方程不同的是Klein-Gordon方程是描述自旋为的玻色子波函数随时间演化的相对论性波动方程。经典电动力学指出电磁场满足Maxwell方程组，并从中推导出电磁波。从Maxwell方程组出发得到自由光子的相对论性波动方程，并得到极化矢量。

Klein-Gordon方程

与得到Dirac方程的方法相近，从质壳方程（）和对应关系（）可以得到Klein-Gordon方程：

定义：，得到Klein-Gordon方程更加简洁的表示为：

上式描述的是有质量玻色子满足的相对论性波动方程。

Maxwell方程组和光子极化矢量

经典电动力学中描述电磁场的方程是Maxwell方程组：

其中为电场强度，为磁感应强度，为电荷密度，为电流密度。场强张量(field strength tensor)定义为：

以及定义四矢量，可以将Maxwell方程组写成：

进一步定义，其中和满足：，。于是得到：
带入Maxwell方程组得到：

采用Lorentz条件：，得到：

同时选择Coulomb规范：，。最终得到：

对比Klein-Gordon方程得到这是一个自由的自旋为的无质量粒子的相对论性波动方程。同样寻求它的平面波解：

其中为四动量，为极化矢量。带入方程即可求解。最后得到以下结论：

(1)Lorentz条件：；

(2)Coulomb规范：，；

(3)右旋极化对应的极化矢量：，左旋极化对应的极化矢量：。