算法随笔 - 容斥原理学习

890. 能被整除的数 - AcWing题库

在补牛客多校7的I题I-We Love Strings_2023牛客暑期多校训练营7 (nowcoder.com)时发现处理重复集合用了容斥原理来做，感觉我对容斥原理不太熟悉，因此上网学了学容斥原理。

n个集合的容斥原理的公式为：
$${\cup }_{i=1}^m{S}_i=S_1+S_2+S_3+S_4...+S_m-(S_1\cap S_2+S_1\cap S_3+...+S_m-1\cap S_m)+S_1\cap S_2\cap S_3+S_1\cap S_2\cap S_4...+/-...$$
实际上，就是奇数项是加上这个集合的元素，偶数项是减去这个集合的元素。

时间复杂度是：
$$C_n^1+C_n^2+C_n^3+...+C_n^n$$
经过二项式化简，为O(2^n - 1)，因此是O(2^n)，指数级别的时间复杂度。

对于容斥原理的大部分题而言，枚举一定会超时的。但是可以用二进制进行优化。对于容斥原理的大部分题而言，n比较小，可以枚举2^n个，在里面套个枚举长度的。

e.g.

for(int k = 1; k < (1 << n); ++k) { // 枚举所有状态，一共2^n
	for(int i = 0; i < n; ++i) { 
		if(k >> i & 1) { // 第i个选的情况
			...
		}
	}
    // 选了奇数/偶数 再进行操作
}

注意：k >> i & 1中的 &

练习题：890. 能被整除的数 - AcWing题库

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#include 
using namespace std;

// #define Multiple_groups_of_examples
#define IOS std::cout.tie(0);std::cin.tie(0)->sync_with_stdio(false);
#define dbgnb(a) std::cout << #a << " = " << a << '\n';
#define dbgtt cout<<" !!!test!!! "<<endl;
#define rep(i,x,n) for(int i = x; i <= n; i++)

#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define pb push_back
#define vf first
#define vs second

typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e5 + 21;

void inpfile();
void solve() {
    int n,m; cin>>n>>m;
    vector<int> p(m);
    for(auto &t: p) cin>>t;
    int ans = 0;
    for(int k = 1; k < ( 1 << m); ++k) {
        int cnt = 0; // 选了几个
        int t = 1;
        for(int i = 0; i < m; ++i) {
            if(k >> i & 1) { // 第i个是否可选
                if(1LL * t * p[i] > n) { // 如果相乘大于n，为0，直接break：因为可能有n^m，LL也超，需要大数运算
                    t = -1;
                    break;
                }
                cnt++;
                t *= p[i];
            }
        }
        if(t == -1) continue;
        // 容斥原理：奇数相加，偶数相减
        if(cnt % 2 !=  0) {
            ans += n / t;
        } else ans -= n / t;
        
    }
    cout<<ans;
}
int main()
{
    #ifdef Multiple_groups_of_examples
    int T; cin>>T;
    while(T--)
    #endif
    solve();
    return 0;
}
void inpfile() {
    #define mytest
    #ifdef mytest
    freopen("ANSWER.txt", "w",stdout);
    #endif
}

算法基础（二十八）：数学基础 - 容斥原理 - 知乎 (zhihu.com)