【逻辑回归】

一、代价函数

我们希望获得凸（convex）函数，这样的函数有更好的收敛性。因此我们不能直接使用之前线性回归用的代价函数。

逻辑回归代价函数

当y=1时，有：h→1，cos→0
当y=0时，有：h→0，cos→0
h→y，cos→0

二、代价函数的一般形式与梯度下降

代价函数

上面的形式不够简洁，因为y只有0和1两个取值，我们可以换个形式，把y引入代价函数。
cost(h,y)= -y log(h) - (1-y) log(1-h)
当y=1时，前一项系数为1，后一项系数为0；
当y=0时，前一项系数为0，后一项系数为1。
再考虑m个样本，代价函数的形式如下：

逻辑回归代价函数的一般形式

这样就是一个标准的形式了，让我们最小化代价函数来确定参数Θ。

梯度下降

• 既然我们已经知道了代价函数的表达式，我们可以继续用梯度下降的方法。
• 当我们计算代价函数的偏导时，可以发现形式与线性回归时的是一样的，都是Σ(h-y)x，不过h的形式已经变了。
• 判断学习速率α是否合适的方法也是一样的，也即随着迭代次数看代价函数是否以合适的速度减小。

三、高级优化算法

优化算法都是解决这样一个问题：我们已知代价函数J，想要找到θ最小化J。在这种问题中，只要给定θ，我们就可以计算J(θ)和J(θ)的对θj的偏导。
梯度下降法只是一种优化算法。优化算法还包括：

• 共轭梯度法
• BFGS
• L-BFGS

这些高级优化算法不需要人为去调整learning rate，也通常收敛得更快，但是他们比较复杂。

在octave中我们调用fminunc()进行高级优化