Python 求解非零和博弈的纳什均衡策略——以虚构的两个企业之间的商品价格博弈为例

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前言

一、模型的建立

二、算法的步骤

三、代码的实现

四、运行的结果

总结

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前言

        博弈论是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法，它考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。博弈论研究的模型中，玩家之间的关系主要可以分为四种：即零和博弈，非零和博弈，合作博弈，非合作博弈。

        本文研究的是非零和博弈，即在该博弈中，一方的收益不一定等于另一方的损失，参与方之间的关系不仅取决于双方的收益， 还取决于其他因素，如双方的合作程度和对抗程度等。本文虚构了两个企业之间的商品价格博弈，具体模型构造见下文。

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一、模型的建立

        假设A公司定价为p1，而B公司定价为p2，则A公司的收益为：A(p1,p2) = (p1-200)*q1，其中q1为A公司产品的销量，q1 = 600*( 1-p1*1.7 / (p1 + p2))；B公司的收益为：B(p1,p2) = (p2-200)*q2，其中q2为B公司产品的销量，q2 = 400*( 1-p2 *1.4/ (p1 + p2))；单个商品的成本为200；A公司和B公司在确定自己的价格时，都会考虑到对方的可能策略，并尝试通过调整自己的定价来最大化自己的收益。

        本模型假设的市场总份额为1000，其中A公司占有的初始市场份额为600，B公司为400。考虑到占有市场份额大的企业提升了商品价格后，比较容易对销量产生影响，故而本文对A公司的q1的函数表达式中p1前的系数取1.7，B公司则取1.4。

        简单解释下，比如你时爱喝A公司的葡萄汁，这种果汁卖3块，结果某天它的价格上涨了五毛钱，这时候你可能买它的频率就会降低许多了，因为你经常买，你会觉得自己每次都要比之前多花五毛钱，这种心理比较影响你之后购买它的欲望了。倘若你很少喝B公司产的葡萄汁，即使这种果汁卖5块，就算是它长到了6块，可能对你购买它的频次都没什么影响，第一，你可能压根就不记得它的价格，第二，你可能每次买它的时候只是为了过过嘴瘾，即使它涨了1块钱，你也觉得无所谓，因为你本身买它的次数就不多。这是我对我虚构这个销量函数的逻辑性不严密的解释，大家就姑且看个乐。（反正现在我不怎么买之前一直买的神内胡萝卜汁了，真后悔3块钱的时候没多喝几瓶啊！！！！现在四块五了。）

二、算法的步骤

        2.1 根据模型，写出A 、B公司产品的销量函数和收益函数。

        2.2  写出 A、B 公司的最优响应函数。

                2.21 遍历从成本到指定价格上限的区间之间的每种定价。

                2.22 倘若当前迭代下的价格所产生的的收益大于之前的定价，那么，就用当前迭代下的价格更新我们的定价。

        2.3 主循环

                2.31 确定初始价格、初始收益、初始价格变化量、并实例化一个空列表what_a_game=[]用来存储每次博弈的价格。

                2.32 如果价格变化量超过指定的值的话，那么就分别对A、B公司执行最优响应函数，同时更新当前博弈下的定价，并将定价储存到what_a_game中。直到价格变化量不超过指定的值，这时输出两家公司的纳什均衡定价。

        2.4 可视化展示

                2.41 将what_a_game中的两家公司的定价按照散点绘制在画布上。

                2.42 将what_a_game中的两家公司的定价按照先后顺序用线段连接起来绘制在画布上。

三、代码的实现

        代码如下：

"""
Python 求解非零和博弈的纳什均衡策略————以虚构的两个企业之间的商品价格博弈为例
本研究模型的属于非零和博弈，即在该博弈中，一方的收益不一定等于另一方的损失。
在这种博弈中，参与方之间的关系不仅取决于双方的收益，
还取决于其他因素，如双方的合作程度和对抗程度等。
由此，找寻纳什均衡策略。
written by C_Sheep
"""

# 定义每个商品的成本
cost = 200

# A 公司产品的销量函数和收益函数
def q1(p1, p2):
    return round(600*( 1-p1*1.7 / (p1 + p2)))

def revenue_A(p1, p2):
    return (p1 - cost) * q1(p1, p2)

# B 公司产品的销量函数和收益函数
def q2(p1, p2):
    return round(400*( 1-p2 *1.4/ (p1 + p2)))

def revenue_B(p1, p2):
    return (p2 - cost) * q2(p1, p2)

# 寻找 A 公司的最优响应函数
def best_response_A(p1,p2,opt_revenue = float('-inf')):
    opt_p1 = p1

    for p1_ in range(cost, 1000):
        rev_A = revenue_A(p1_, p2)

        if rev_A > opt_revenue and rev_A!=0:
            opt_revenue = rev_A
            opt_p1 = p1_
            break
    return opt_p1,opt_revenue

# 寻找 B 公司的最优响应函数
def best_response_B(p2,p1,opt_revenue = float('-inf')):
    opt_p2 = p2

    for p2_ in range(cost, 1000):
        rev_B = revenue_B(p1, p2_)
        if rev_B > opt_revenue and rev_B!=0:
            opt_revenue = rev_B
            opt_p2 = p2_
            break
    return opt_p2,opt_revenue

# 执行迭代过程，目标是寻找 A 公司和 B 公司的纳什均衡价格
p1 = 200  # 初始价格
p2 = 200
opt_revenue_p1= float('-inf') # 初始收益
opt_revenue_p2= float('-inf')
delta = 1  # 价格变化量，如果 delta 的值比某个小数值（如 0.01）还要小，说明我们已经找到了一个稳定的纳什均衡点
count=0
what_a_game=[] # 用来存储每次博弈的价格
while delta > 0.01:
    what_a_game.append([p1,p2])
    count += 1
    print(f"循环了{count}次")

    p1_new,opt_revenue_1 = best_response_A(p1,p2,opt_revenue_p1)
    p2_new,opt_revenue_2 = best_response_B(p2,p1_new,opt_revenue_p2)
    delta = max(abs(p1_new - p1), abs(p2_new - p2))
    p1 = p1_new
    p2 = p2_new
    opt_revenue_p1=opt_revenue_1
    opt_revenue_p2=opt_revenue_2
    print(f"p1={p1}")
    print(f"p2={p2}")
    print(f"opt_revenue_p1={opt_revenue_p1}")
    print(f"opt_revenue_p2={opt_revenue_p2}")
# 输出结果
print("A 公司的最优定价为 %d 元" % p1)
print("B 公司的最优定价为 %d 元" % p2)

import matplotlib.pyplot as plt

fig = plt.figure(figsize=(10, 6))

# 绘制点
for point in what_a_game:

    plt.scatter(point[0], point[1],color="black")

# 绘制连接线
for i in range(len(what_a_game) - 1):

    start = what_a_game[i]
    end = what_a_game[i+1]
    plt.plot([start[0], end[0]], [start[1], end[1]],color="black")

plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 指定默认字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False  # 解决保存图像是负号'-'显示为方块的问题
plt.xlabel('A公司定价/元',fontsize=16)
plt.ylabel('B公司定价/元',fontsize=16)
plt.title("A、B公司定价策略的博弈曲线",fontsize=18)
print("加入我的qq群，大家一起讨论管理、规划类问题的算法\n群里我会不定期上传一些我自己和其他大神的算法源码\n群号为：808756207")
# 显示图像
plt.show()

四、运行的结果

        A、B公司定价策略的博弈曲线如下：

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总结

        通过A、B公司定价策略的博弈曲线可以看出，两家公司的博弈过程并非是一直加价上升的，而是有一个来回的博弈过程。特别地，在最后的纳什均衡策略确定前，两家公司进行了激烈的价格对抗，来来回回的价格变动方向改变了多次。

        大家也可以通过修改两家公司的销量函数的系数运行代码玩玩，不同系数下得到的博弈曲线肯定是不一样的。