【洛谷 P1164】小A点菜 题解（动态规划+背包问题）

小A点菜

题目背景

uim 神犇拿到了 uoi 的 ra（镭牌）后，立刻拉着基友小 A 到了一家……餐馆，很低端的那种。

uim 指着墙上的价目表（太低级了没有菜单），说：“随便点”。

题目描述

不过 uim 由于买了一些书，口袋里只剩 $M$ 元 $(M\le 10000)$。

餐馆虽低端，但是菜品种类不少，有 $N$ 种 $(N\le 100)$，第 $i$ 种卖 $a_i$ 元 $(a_i\le 1000)$。由于是很低端的餐馆，所以每种菜只有一份。

小 A 奉行“不把钱吃光不罢休”，所以他点单一定刚好把 uim 身上所有钱花完。他想知道有多少种点菜方法。

由于小 A 肚子太饿，所以最多只能等待 $1$ 秒。

输入格式

第一行是两个数字，表示 $N$ 和 $M$。

第二行起 $N$ 个正数 $a_i$（可以有相同的数字，每个数字均在 $1000$ 以内）。

输出格式

一个正整数，表示点菜方案数，保证答案的范围在 int 之内。

样例 #1

样例输入 #1

4 4
1 1 2 2

样例输出 #1

3

提示

2020.8.29，增添一组 hack 数据 by @yummy

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思路

定义状态 dp[i] 表示满足总价值为 i 的方案数。对于每个菜品 a[i]，根据当前总价值 j 和菜品价值 a[i]，可以分为两种情况：

1. 不点第 i 道菜，则方案数为 dp[j]。
2. 点第 i 道菜，则方案数为 dp[j - a[i]]。

因此，状态转移方程为：dp[j] = dp[j] + dp[j - a[i]]

如果没有任何一道菜品被选中，则总价值为 0，方案数为 1。将dp[0]初始化为1。

两个嵌套的 for 循环，分别用于遍历菜品和总价值。在遍历菜品时，对于每个菜品，从总价值 m 到菜品价值 a[i] 进行倒序遍历，计算状态转移方程，以避免重复计算。

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AC代码

#include 
#define AUTHOR "HEX9CF"
using namespace std;

const int N = 10005;

int main()
{
    int n, m;
    int dp[N]; // 总价值为 i 的方案数
    int a[N];
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }
    dp[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = m; j >= a[i]; j--)
        {
            // 不点和点第 i 道菜
            dp[j] = dp[j] + dp[j - a[i]];
        }
    }
    cout << dp[m] << endl;
    return 0;
}