线性代数的本质(五)——矩阵的运算

矩阵的运算

矩阵的转置

转置：矩阵$A$的行列互换得到的矩阵称为 $A$ 的转置(transpose)，记作 $A^T$。

性质：矩阵转置运算满足下列性质：

1. $(A+B{)}^T=A^T+B^T$
2. $(A^T{)}^T=A$
3. $(kA{)}^T=k{A}^T$
4. $(AB{)}^T=B^T{A}^T$
5. $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$

方阵的运算

三角矩阵：(triangular matrix)主对角线的下方元素都是零的方阵，称为上三角矩阵。类似的，主对角线的上方元素都是零的方阵，称为下三角矩阵。
[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 22 ⋯ a 2 n ⋱ ⋮ a n n ] , [ a 11 a 21 a 22 ⋮ ⋮ ⋱ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ] \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n} \\ &a_{22}&\cdots&a_{2n} \\ &&\ddots&\vdots \\ &&&a_{nn} \\ \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} a_{11}&&& \\ a_{21}&a_{22}&& \\ \vdots&\vdots&\ddots& \\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn} \\ \end{bmatrix} ​a11​​a12​a22​​⋯⋯⋱​a1n​a2n​⋮ann​​ ​, ​a11​a21​⋮an1​​a22​⋮an2​​⋱⋯​ann​​ ​

上(下)三角阵的行列式为主对角线元素的乘积
$$\det A=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$$
对角阵：不在主对角线上的元素全为零的矩阵称为对角阵(diagonal matrix)，记作
d i a g ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) = [ a 1 a 2 ⋱ a n ] \mathrm{diag}(a_1,a_2,\cdots,a_n)=\begin{bmatrix} a_1 \\ &a_2 \\ &&\ddots \\ &&&a_n \\ \end{bmatrix} diag(a1​,a2​,⋯,an​)= ​a1​​a2​​⋱​an​​ ​
对角阵有良好的性质：

1. 两对角阵的乘积仍为对角阵
   [ a 1 a 2 ⋱ a n ] [ b 1 b 2 ⋱ b n ] = [ a 1 b 1 a 2 b 2 ⋱ a n b n ] \begin{bmatrix}a_1 \\&a_2 \\&&\ddots \\&&&a_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1 \\&b_2 \\&&\ddots \\&&&b_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_1b_1 \\&a_2b_2 \\&&\ddots \\&&&a_nb_n \end{bmatrix} ​a1​​a2​​⋱​an​​ ​ ​b1​​b2​​⋱​bn​​ ​= ​a1​b1​​a2​b2​​⋱​an​bn​​ ​

2. 对角阵的幂仍为对角阵
   [ a 1 a 2 ⋱ a n ] k = [ a 1 k a 2 k ⋱ a n k ] \begin{bmatrix}a_1 \\&a_2 \\&&\ddots \\&&&a_n \end{bmatrix}^k= \begin{bmatrix}a_1^k \\&a_2^k \\&&\ddots \\&&&a_n^k \end{bmatrix} ​a1​​a2​​⋱​an​​ ​k= ​a1k​​a2k​​⋱​ank​​ ​

数量阵：主对角线上的元素都相等的对角阵，称为数量阵(scalar matrix)。
d i a g ( a , a , ⋯   , a ) = [ a a ⋱ a ] \mathrm{diag}(a,a,\cdots,a)=\begin{bmatrix} a \\ &a \\ &&\ddots \\ &&&a \\ \end{bmatrix} diag(a,a,⋯,a)= ​a​a​⋱​a​ ​
数量阵得名于它的乘法。如二阶数量阵
$$\left[\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right]A=k\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]A=kA$$

单位阵：主对角线上的元素全为1的对角阵，称为单位阵(identity matrix)。$n$ 阶单位阵记作$E_n$或$I_n$。任何矩阵与单位阵的乘积都等于自身。
I 3 = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] I_3=\begin{bmatrix}1&0&0 \\0&1&0 \\0&0&1 \\ \end{bmatrix} I3​= ​100​010​001​ ​
对称阵与反对称阵：设 $A=(a_{ij})$ 为 $n$阶方阵，若$A^T=A$ ，即$a_{ij}=a_{ji}$，则称为对称阵(symmetric matrix)；若$A^T=-A$ ，即 $a_{ij}=-a_{ji}$，则称为反对称阵(skew-symmetric matrix)。

易证明 $A{A}^T$ 和 $A^{T}A$ 是对称阵。

方阵的幂：由于矩阵满足结合律，我们可以定义矩阵的幂运算
$$A^0=I,A^n=\stackrel{n}{AA\cdots A}$$
当矩阵 $A$ 可逆时，定义
$$A^{-k}=(A^{-1}{)}^k$$
显然只有方阵的幂才有意义。幂运算满足如下性质：

1. $A^k{A}^l=A^{k+l}$
2. $(A^k{)}^l=A^{kl}$

注意：因为矩阵乘法无交换率，因此一般情况下 $(AB{)}^k\ne A^k{B}^k$

初等矩阵

初等变换：矩阵初等行变换的定义同样适用于列，相应的记法为 $c_i\leftrightarrow c_j,k{c}_i,c_i+k{c}_j$ 。矩阵的初等行变换和初等列变换统称矩阵的初等变换。若矩阵 $A$ 经有限次初等变换变为$B$，则称$A$与$B$ 等价(equivalent) 。

矩阵的初等变换是矩阵的一种最基本运算，其过程可以通过特殊矩阵的乘法来表示。

初等矩阵：由单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵(elementary matrix)。易知初等矩阵都是可逆的。

三种初等变换对应着三种初等矩阵。由矩阵的乘法运算可以验证：对矩阵的初等行变换相当于左乘相应的初等矩阵；对矩阵的初等列变换相当于右乘相应的初等矩阵。

1. 互换变换，如 $r_1\leftrightarrow r_2$
   [ 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ] [ a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ] = [ a 2 b 2 a 1 b 1 a 3 b 3 ] \begin{bmatrix}0&1&0 \\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1&b_1 \\a_2&b_2\\a_3&b_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_2&b_2\\a_1&b_1 \\a_3&b_3\end{bmatrix} ​010​100​001​ ​ ​a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​ ​= ​a2​a1​a3​​b2​b1​b3​​ ​

2. 倍乘变换，如 $2r_1$
   [ 2 0 0 0 1 0 0 0 1 ] [ a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ] = [ 2 a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ] \begin{bmatrix}2&0&0 \\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1&b_1 \\a_2&b_2\\a_3&b_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}2a_1&b_1 \\a_2&b_2\\a_3&b_3\end{bmatrix} ​200​010​001​ ​ ​a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​ ​= ​2a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​ ​

3. 倍加变换，如 $r_1+2r_2$
   [ 1 2 0 0 1 0 0 0 1 ] [ a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3 ] = [ a 1 + 2 a 2 b 1 + 2 b 2 a 2 b 2 a 3 b 3 ] \begin{bmatrix}1&2&0 \\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a_1&b_1 \\a_2&b_2\\a_3&b_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}a_1+2a_2&b_1+2b_2 \\a_2&b_2\\a_3&b_3\end{bmatrix} ​100​210​001​ ​ ​a1​a2​a3​​b1​b2​b3​​ ​= ​a1​+2a2​a2​a3​​b1​+2b2​b2​b3​​ ​

定理：任意一个可逆矩阵都可以表示为有限个初等矩阵的乘积。

由于初等矩阵可逆，所以初等矩阵的乘积亦可逆。

所有矩阵都可通过初等变换化为标准型
[ 1 ⋱ 1 } r 0 ⋱ 0 ] = [ I r O O O ] \begin{bmatrix} \left.\begin{matrix}1&& \\ &\ddots&\\&&1\end{matrix}\right\}r & \\ &\begin{matrix}0 \\ &\ddots&\\&&0\end{matrix} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}I_r&O \\O&O\end{bmatrix} ​1​⋱​1​⎭ ⎬ ⎫​r​0​⋱​0​​ ​=[Ir​O​OO​]

分块矩阵

分块矩阵是矩阵运算的一种技巧。

在矩阵的运算和理论研究中，有时对矩阵进行分块处理，常常会简化矩阵的运算，或者使原矩阵显得结构简单而清晰。
[ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 5 ] = [ I 2 O O A ] \begin{bmatrix} \begin{array}{cc:cc} 1&0 & 0 & 0 \\ 0&1 & 0 &0 \\ \hdashline 0&0 & 1 & 5 \end{array}\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} I_2 & O \\ O & A \end{bmatrix} ​100​010​001​005​​​ ​=[I2​O​OA​]
像这样，结合矩阵本身的特点，把一个矩阵用横线和竖线划分为若干个子块，并以所分的子块为元素的矩阵称为分块矩阵(Block matrix)。一个矩阵可用不同的方法分块。

分块矩阵的运算形式上和普通矩阵相同，把子块当成元素计算即可。

加法：设分块 $A,B$ 是同型矩阵，且对它们的分法相同，则 $A+B=(A_{ij}+B_{ij})$
$$\left[\begin{array}{cc}{A}_1& B_1\\ C_1& D_1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{A}_2& B_2\\ C_2& D_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_1+A_2& B_1+B_2\\ C_1+C_2& D_1+D_2\end{array}\right]$$
数乘：分块矩阵 $A$ ，数乘作用于每个子块。
$$k\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}kA& kB\\ kC& kD\end{array}\right]$$
乘法：分块矩阵的乘法按矩阵乘法的形式计算。
$$AB=A\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{b}}_1& {\mathbf{b}}_2& \cdots & {\mathbf{b}}_p\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}A{\mathbf{b}}_1& A{\mathbf{b}}_2& \cdots & A{\mathbf{b}}_p\end{array}\right]$$
矩阵乘法的列行展开
A B = [ a 1 a 2 ⋯ a n ] [ b 1 b 2 ⋮ b n ] = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n AB=\begin{bmatrix}\mathbf a_1&\mathbf a_2&\cdots&\mathbf a_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\mathbf b_1\\\mathbf b_2\\\vdots\\\mathbf b_n\end{bmatrix} =\mathbf a_1\mathbf b_1+\mathbf a_2\mathbf b_2+\cdots+\mathbf a_n\mathbf b_n AB=[a1​​a2​​⋯​an​​] ​b1​b2​⋮bn​​ ​=a1​b1​+a2​b2​+⋯+an​bn​
转置：分块矩阵 $A=(A_{ij})$ 的转置等于各子块的转置 $A^T=(A_{ij}^T)$

分块上三角矩阵：
$${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ O& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}B{D}^{-1}\\ O& D^{-1}\end{array}\right]$$
设分块矩阵 $\left[\begin{array}{cc}{X}_1& X_2\\ X_3& X_4\end{array}\right]$ 是矩阵 $\left[\begin{array}{cc}A& B\\ O& D\end{array}\right]$ 的逆，则
$$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ O& D\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{X}_1& X_2\\ X_3& X_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{I}_p& O\\ O& I_q\end{array}\right]$$
这个矩阵方程包含了4个未知子块的方程
$$\begin{gathered} A{X}_1+B{X}_3=I_p \\ A{X}_2+B{X}_4=O \\ D{X}_3=O \\ D{X}_4=I_q \end{gathered}$$
若 $D$ 可逆，从后两个方程可以得到 $X_3=O,X_4=D^{-1}$ ；若 $A$ 可逆，进一步可以得到$X_1=A^{-1},X_2=-A^{-1}B{D}^{-1}$ 。便可获得分块上三角矩阵的逆。

分块对角矩阵：分块对角矩阵拥有良好的性质。

(1) 分块对角矩阵乘积
[ A 1 A 2 ⋱ A s ] [ B 1 B 2 ⋱ B s ] = [ A 1 B 1 A 2 B 2 ⋱ A s B s ] \begin{bmatrix}A_1 \\&A_2 \\&&\ddots \\&&&A_s \end{bmatrix} \begin{bmatrix}B_1 \\&B_2 \\&&\ddots \\&&&B_s \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}A_1B_1 \\&A_2B_2 \\&&\ddots \\&&&A_sB_s \end{bmatrix} ​A1​​A2​​⋱​As​​ ​ ​B1​​B2​​⋱​Bs​​ ​= ​A1​B1​​A2​B2​​⋱​As​Bs​​ ​
(2) 若分块对角矩阵的各个子块可逆，则该对角分块矩阵可逆
[ A 1 A 2 ⋱ A s ] − 1 = [ A 1 − 1 A 2 − 1 ⋱ A s − 1 ] \begin{bmatrix}A_1 \\&A_2 \\&&\ddots \\&&&A_s \end{bmatrix}^{-1}= \begin{bmatrix}A_1^{-1} \\&A_2^{-1} \\&&\ddots \\&&&A_s^{-1} \end{bmatrix} ​A1​​A2​​⋱​As​​ ​−1= ​A1−1​​A2−1​​⋱​As−1​​ ​
(3) 分块对角矩阵的行列式为对角位置的行列式乘积
det ⁡ [ A 1 A 2 ⋱ A s ] = det ⁡ A 1 det ⁡ A 2 ⋯ det ⁡ A s \det\begin{bmatrix}A_1 \\&A_2 \\&&\ddots \\&&&A_s \end{bmatrix} =\det A_1\det A_2\cdots\det A_s det ​A1​​A2​​⋱​As​​ ​=detA1​detA2​⋯detAs​

逆矩阵

利用克拉默法可以容易地导出一个求矩阵的逆的一般公式。设矩阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 的逆矩阵 $A^{-1}=(b_{ij}{)}_{n\times n}$ ，利用分块矩阵的乘法
$$A{A}^{-1}=A\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{b}}_1& {\mathbf{b}}_2& \cdots & {\mathbf{b}}_n\end{array}\right]=I_n=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{e}}_1& {\mathbf{e}}_2& \cdots & {\mathbf{e}}_n\end{array}\right]$$
其中 ${\mathbf{b}}_j$ 是矩阵 $A^{-1}$ 的第 $j$ 列， ${\mathbf{e}}_j$ 是单位阵 $I_n$ 的第 $j$ 列。于是
$$A{\mathbf{b}}_j={\mathbf{e}}_j$$
向量 ${\mathbf{b}}_j$ 的第 $i$ 个元素是 $A^{-1}$ 的元素 $b_{ij}$ 。由克拉默法则求得
$$b_{ij}=\frac{\det A_i({\mathbf{e}}_j)}{\det A}$$
回顾代数余子式的定义，它是把矩阵 $A$ 中元素 $a_{ij}$ 所在的行和列划掉后得到的。$\det A_i({\mathbf{e}}_j)$ 按第 $i$ 列的余子展开式为
$$\det A_i({\mathbf{e}}_j)=(-1{)}^{i+j}{M}_{ji}=A_{ji}$$
于是可写出矩阵 $A$ 的逆
$$A^{-1}=\frac{1}{\det A}\text{adj }A$$
其中 $\text{adj }A$ 是矩阵 $A$ 的各个元素的代数余子式$A_{ji}$ 所构成的矩阵
adj  A = [ A 11 A 21 ⋯ A n 1 A 12 A 22 ⋯ A n 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n A 2 n ⋯ A n n ] \text{adj }A=\begin{bmatrix} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1} \\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2} \\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots \\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn} \\ \end{bmatrix} adj A= ​A11​A12​⋮A1n​​A21​A22​⋮A2n​​⋯⋯⋱⋯​An1​An2​⋮Ann​​ ​
做矩阵$A$的伴随矩阵(Adjugate Matrix) 。

注意，伴随矩阵里代数余子式的排列顺序是颠倒的。

定理：方阵 $A$ 可逆的充要条件是 $\det A\ne 0$ ，且 $A^{-1}=\frac{1}{\det A}\text{adj }A$

此定理仅适用于理论上的计算矩阵的逆，使我们不用实际计算出$A^{-1}$ 就可以推导出性质。

这里给出二阶方阵 $A=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]$ 的逆，若 $\det A=ad-bc\ne 0$ 则
$$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$$

推论：

1. 若 $n$ 阶方阵 $A,B$ 满足 $AB=I$ 或 $BA=I$ ，则 $B=A^{-1}$ 。
2. $A(\text{adj }A)=(\text{adj }A)A=(\det A)I$

有了推论1，只需判断 $AB=I$ 或 $BA=I$ 中的一个条件就可判定逆矩阵，要比定义简单一些。

利用初等变换计算逆矩阵：写出增广矩阵 $(A\mid I)$， 用初等行变换把左边矩阵 $A$ 处化为单位矩阵 $I$ ，则右边出来的就是逆矩阵$A^{-1}$，示意如下：
$$(A\mid I)(I\mid A^{-1})$$

同样，利用初等列变换计算逆矩阵的示意如下
$$\left[\begin{array}{c}A\\ I\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}I\\ A^{-1}\end{array}\right]$$

示例：解矩阵方程
[ 1 0 1 − 1 1 1 2 − 1 1 ] [ x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ] = [ 1 1 0 1 − 1 0 ] \begin{bmatrix}1&0&1\\-1&1&1\\2&-1&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\\x_3&y_3\\\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}1&1\\0&1\\-1&0\\\end{bmatrix} ​1−12​01−1​111​ ​ ​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​​ ​= ​10−1​110​ ​
解：系数矩阵可逆的矩阵方程 $AX=B$ ，解为$X=A^{-1}B$ 。实际中，不必求逆矩阵，可使用一系列初等变换求解，即系数矩阵和常数项做同样的变换 $P=A^{-1}$。图示如下
$$(A\mid B)(I\mid X)$$
本例计算过程如下
[ 1 0 1 1 1 − 1 1 1 0 1 2 − 1 1 − 1 0 ] → [ 1 0 0 3 1 0 1 0 5 2 0 0 1 − 2 0 ] \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc:cc} 1&0&1&1&1\\ -1&1&1&0&1\\ 2&-1&1&-1&0 \end{array} \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} \begin{array}{ccc:cc} 1&0&0&3&1\\ 0&1&0&5&2\\ 0&0&1&-2&0 \end{array} \end{bmatrix} ​1−12​01−1​111​10−1​110​​ ​→ ​100​010​001​35−2​120​​ ​
故
[ x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ] = [ 3 1 5 2 − 2 0 ] \begin{bmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\\x_3&y_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}3&1\\5&2\\-2&0\end{bmatrix} ​x1​x2​x3​​y1​y2​y3​​ ​= ​35−2​120​ ​

矩阵的秩

行空间：矩阵$A=({\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,\cdots ,{\mathbf{r}}_m{)}^T$ 的所有行向量张成的空间称为 $A$ 的行空间，记为
$$\text{row }A=\text{span}\{{\mathbf{r}}_1,{\mathbf{r}}_2,\cdots ,{\mathbf{r}}_m\}$$
若两个矩阵 $A$ 和 $B$ 行等价，则它们的的行空间相同。若 $B$ 是阶梯型矩阵，则 $B$ 的非零行构成 $\text{row }B$ 的一组基，同时也是$\text{row }A$ 的一组基。

证明：若 $B$ 是由 $A$ 经行变换得到的，则 $B$ 的行是$A$ 的行的线性组合，于是 $B$ 的行的任意线性组合自然是 $A$ 的行的线性组合，从而 $B$ 的行空间包含于 $A$ 的行空间。因为行变换可逆，同理知 $A$ 的行空间是 $B$ 的行空间的子集，从而这两个空间相同。若 $B$ 是一个阶梯形矩阵，则其非零行是线性无关的，这是因为任何一个非零行均不为它下面的非零行的线性组合，于是 $B$ 的非零行构成 $B$ 的行空间的一组基，当然也是 $A$ 的行空间的一组基。

例：分别求矩阵 $A$ 的行空间、列空间和零空间的基
A = [ − 2 − 5 8 0 − 17 1 3 − 5 1 5 3 11 − 19 7 1 1 7 − 13 5 − 3 ] A=\begin{bmatrix}-2&-5&8&0&-17\\1&3&-5&1&5\\3&11&-19&7&1\\1&7&-13&5&-3\end{bmatrix} A= ​−2131​−53117​8−5−19−13​0175​−1751−3​ ​
解：为了求行空间和列空间的基，行化简$A$成阶梯形
A → [ 1 3 − 5 1 5 0 1 − 2 2 − 7 0 0 0 − 4 20 0 0 0 0 0 ] = B A\to \begin{bmatrix}1&3&-5&1&5\\0&1&-2&2&-7\\0&0&0&-4&20\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}=B A→ ​1000​3100​−5−200​12−40​5−7200​ ​=B
矩阵 $B$ 的前 3 行构成$B$的行空间的一个基，也是$A$的行空间的一组基。

$\text{row }A$ 的基：$(1,3,-5,1,5),(0,1,-2,2,-7),(0,0,0,-4,20)$

对列空间，$B$ 的主元列在第1，2和4列，从而 $A$ 的第1，2和4列构成 $\text{col }A$ 的一组基。

$\text{col }A$ 的基：$(-2,1,3,1{)}^T,(-5,3,11,7{)}^T,(0,1,7,5{)}^T$

对于核空间，需要进一步行变换得简化阶梯型矩阵
B → [ 1 0 1 0 1 0 1 − 2 0 3 0 0 0 1 − 5 0 0 0 0 0 ] = C B\to\begin{bmatrix}1&0&1&0&1\\0&1&-2&0&3\\0&0&0&1&-5\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}=C B→ ​1000​0100​1−200​0010​13−50​ ​=C
方程 $A\mathbf{x}=0$ 的解空间等价于 $C\mathbf{x}=0$ 的解空间，即
$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_3+x_5=0\\ x_2-2x_3+3x_5=0\\ x_4-5x_5=0\end{array}$$
所以
[ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 ] = x 3 [ − 1 2 1 0 0 ] + x 5 [ − 1 − 3 0 5 1 ] \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5\end{bmatrix}= x_3\begin{bmatrix}-1\\2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+ x_5\begin{bmatrix}-1\\-3\\0\\5\\1\end{bmatrix} ​x1​x2​x3​x4​x5​​ ​=x3​ ​−12100​ ​+x5​ ​−1−3051​ ​
$\ker A$ 的基：$(-1,2,1,0,0{)}^T,(-1,-3,0,5,1{)}^T$

通过观察可见，与 $\text{col }A$ 的基不同，$\text{row }A$ 和 $\ker A$ 的基与$A$ 中的元素没有直接的关系。

定理：对于 $m\times n$ 维矩阵 $A$

1. $\dim (\text{row }A)=\dim (\text{col }A)=\text{rank }A$
2. $\text{rank }A+\dim (\ker A)=n$

证明：$\text{rank }A$ 是$A$中主元列的个数，也是$A$的等价阶梯形矩阵$B$中主元列的个数。进一步，因为 $B$ 的每个主元都对应一个非零行，同时这些非零行构成 $A$ 的行空间的一组基，所以 $A$ 的秩等于 $\text{row }A$ 的维数。由于 $\ker A$ 的维数等于方程 $A\mathbf{x}=0$ 中自由变量的个数，换句话说， $\ker A$ 的维数是 $A$ 中非主元列的个数。上面的定理证闭。

性质：

1. 矩阵的秩在初等变换下保持不变
2. 矩阵的列向量组的秩等于行向量组的秩
3. $\text{rank}(A+B)⩽\text{rank}(A)+\text{rank}(B)$
4. $\text{rank}(kA)=\text{rank}(A)$
5. $\text{rank}(AB)⩽\min \{\text{rank}(A),\text{rank}(B)\}$

广义逆矩阵

对于非其次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ ，当 $A$ 可逆时，则方程组存在唯一解 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$，通常矩阵 $A$ 是任意的 $m\times n$ 矩阵，不可逆的，这就促使人们去推广逆矩阵的概念，引进某种具有普通逆矩阵类似性质的矩阵 $G$，使得方程组的解仍可表示为 $\mathbf{x}=G\mathbf{b}$ 这种简单的形式。

• 若 $AGA=A$，则 $A\mathbf{x}=AGA\mathbf{x}=A(G\mathbf{b})=\mathbf{b}$，于是$G\mathbf{b}$ 是方程的解；
• 若 $GAG=G$，由于 $GA\mathbf{x}=G\mathbf{b}$，所以 $GA\mathbf{x}=GAGA\mathbf{x}=GA(G\mathbf{b})=G\mathbf{b}$，于是$G\mathbf{b}$ 是方程的解；

对于$m\times n$ 维矩阵 $A$，若存在 $n\times m$ 维矩阵 $G$ 满足以下 M-P 方程
(1) $AGA=A$
(2) $GAG=G$
(3) $(AG{)}^T=AG$
(4) $(GA{)}^T=GA$

的全部或一部分，则称 $G$ 为 $A$ 的一个广义逆矩阵。若 $G$ 满足全部 M-P 方程，则称 $G$ 为 $A$ 的 Moore-Penrose 广义逆矩阵，简称M-P 广义逆矩阵，也称为伪逆矩阵，记为 $A^{+}$。事实上，只有伪逆矩阵存在且唯一，其他各类广义逆矩阵都不唯一。

性质：

1. $(A^{+}{)}^{+}=A$
2. $(A^T{)}^{+}=(A^{+}{)}^T$
3. $\text{rank }{A}^{+}=\text{rank }A$

若非其次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 有解，则解为
$$\mathbf{x}=A^{+}\mathbf{b}+(I-A^{+}A)\mathbf{c}$$
其中 $\mathbf{c}$ 是维数与 $\mathbf{x}$ 的维数相同的任意向量。显然，当 $A$ 可逆时，$\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}+(I-A^{-1}A)\mathbf{c}=A^{-1}\mathbf{b}$ 。

求伪逆矩阵的一个方法是利用奇异值分解 $A=U\Sigma V^T$ 。由于 ${\Lambda }_r$ 的对角线元素非零，所以 ${\Lambda }_r$ 可逆，可求得伪逆为
$$A^{+}=V_r{\Lambda }_r^{-1}{U}_r^T$$