零基础学习正演的数值模拟(含代码)

摘要: 本贴从零开始学习正演的数值模拟方法. 包括相应的偏微分基础、声波方程、雷克子波、均匀速度场的模拟、一般速度场的模拟.

1. 偏微分基础

本小节仅涉及高等数学相关知识, 与领域无关.

1.1 导数

引例: 物体从一维坐标的原点开始移动, 在 t t t 时刻, 它在坐标轴的位置由函数 s ( t ) s(t) s(t) 确定, 则速度为位置变化量与时间的比值:
v ( t ) = d s ( t ) d t = lim ⁡ Δ t → 0 s ( t + Δ t ) − s ( t ) Δ t (1) v(t) = \frac{\mathrm{d} s(t)}{\mathrm{d} t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t} \tag{1} v(t)=dtds(t)=Δt0limΔts(t+Δt)s(t)(1)
加速度为速度变化量与时间的比值:
a ( t ) = d v ( t ) d t = lim ⁡ Δ t → 0 v ( t ) − v ( t − Δ t ) Δ t = lim ⁡ Δ t → 0 s ( t + Δ t ) − 2 s ( t ) + s ( t − Δ t ) Δ t 2 (2) a(t) = \frac{\mathrm{d} v(t)}{\mathrm{d} t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{v(t) - v(t - \Delta t)}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - 2 s(t) + s(t - \Delta t)}{\Delta t^2} \tag{2} a(t)=dtdv(t)=Δt0limΔtv(t)v(tΔt)=Δt0limΔt2s(t+Δt)2s(t)+s(tΔt)(2)

推广 1: 给定一个单变量函数
y = f ( x ) (3) y = f(x) \tag{3} y=f(x)(3)
其一阶导数记为
y ′ = d f ( x ) d x (4) y' = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x} \tag{4} y=dxdf(x)(4)
二阶导数记为
y ′ ′ = d 2 f ( x ) d x 2 (5) y'' = \frac{\mathrm{d}^2 f(x)}{\mathrm{d} x^2} \tag{5} y′′=dx2d2f(x)(5)

1.2 偏导

给定一个二变量函数
z = f ( x , y ) (6) z = f(x, y) \tag{6} z=f(x,y)(6)
其针对 x x x 偏导的为
∂ z ∂ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x (7) \frac{\partial z}{\partial x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} \tag{7} xz=Δx0limΔxf(x+Δx,y)f(x,y)(7)
x x x 发生了变化, 而 y y y 并没变化.
进一步, 二阶偏导为
∂ 2 z ∂ x 2 = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x − f ( x , y ) − f ( x − Δ x , y ) Δ x Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 f ( x + Δ x , y ) − 2 f ( x , y ) + f ( x − Δ x , y ) Δ x 2 (8) \begin{array}{ll}\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{\Delta x} - \frac{f(x, y) - f(x - \Delta x, y)}{\Delta x} }{\Delta x} \\ & = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y) - 2 f(x, y) + f(x - \Delta x, y)}{\Delta x^2} \end{array}\tag{8} x22z=limΔx0ΔxΔxf(x+Δx,y)f(x,y)Δxf(x,y)f(xΔx,y)=limΔx0Δx2f(x+Δx,y)2f(x,y)+f(xΔx,y)(8)

另外有 (这两个式子在本贴里面不用, 写着让大家复习):
∂ 2 z ∂ x ∂ y = lim ⁡ Δ x → 0 , Δ y → 0 f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y + Δ y ) − f ( x + Δ x , y ) + f ( x , y ) Δ x Δ y (9) \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \lim_{\Delta x \to 0, \Delta y \to 0} \frac{f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y) - f(x + \Delta x, y) + f(x, y)}{\Delta x \Delta y} \tag{9} xy2z=Δx0,Δy0limΔxΔyf(x+Δx,y+Δy)f(x,y+Δy)f(x+Δx,y)+f(x,y)(9)
∂ 2 z ∂ y ∂ x = ∂ 2 z ∂ x ∂ y (10) \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} \tag{10} yx2z=xy2z(10)
在进行数值模拟的时候, 不可能取 Δ x → 0 \Delta x \to 0 Δx0, 因此 (8) 式简化为
∂ 2 z ∂ x 2 ≈ f ( x + Δ x , y ) − 2 f ( x , y ) + f ( x − Δ x , y ) Δ x 2 (11) \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} \approx \frac{f(x + \Delta x, y) - 2 f(x, y) + f(x - \Delta x, y)}{\Delta x^2} \tag{11} x22zΔx2f(x+Δx,y)2f(x,y)+f(xΔx,y)(11)

注 1: 为统一起见, 即使一元函数, 以后也常使用 ∂ \partial 而不是 d \mathrm{d} d.

1.3 泰勒级数

显然, Δ x \Delta x Δx 越接近 0 0 0 误差就越小, 但在实际地震数据采集中, 需要的设备就越多. 例如, Δ = 5 m \Delta = 5 \mathrm{m} Δ=5m, 即每隔 5m 放置一个检波器, 就要花费 Δ = 20 m \Delta = 20 \mathrm{m} Δ=20m 时 4 倍的成本, 需要计算的网格点数也增加到后者的 16 倍 (2 维剖面) 或 64 倍 (3 维数据体).
从 (11) 式, 我们无法知道: 这个约等于究竟涉及多大的误差?
为了确切知道误差在哪个量级之内, 我们需要引入更高级的数学工具: 泰勒级数.
当函数 f ( x ) f(x) f(x) x 0 x_0 x0 处存在直到 n n n 阶的导数, 则
f ( x ) = f ( x 0 ) + ∑ i = 1 n f ( i ) ( x 0 ) ( x − x 0 ) i i ! + o ( ( x − x 0 ) n ) (12) f(x) = f(x_0) + \sum_{i = 1}^n \frac{f^{(i)}(x_0)(x - x_0)^i}{i!} + o((x - x_0)^n) \tag{12} f(x)=f(x0)+i=1ni!f(i)(x0)(xx0)i+o((xx0)n)(12)
其中 f ( i ) ( x 0 ) / i ! f^{(i)}(x_0) / i! f(i)(x0)/i! 称为泰勒展开式的系数.
直观的解释: 如果函数 f ( x ) f(x) f(x) 不是线性的, 则它的变化量不仅与斜率有关, 而且与斜率的变化率也有关. 更多内容就只有自己去找数学书啃了.
为与我们前面的内容相符, 将 (12) 式 x 0 x_0 x0 记作 x x x, x x x 记作 x + Δ x x + \Delta x x+Δx, 得到
f ( x + Δ x ) = f ( x ) + ∑ i = 1 n f ( i ) ( x ) Δ x i i ! + o ( Δ x n ) (13) f(x + \Delta x) = f(x) + \sum_{i = 1}^n \frac{f^{(i)}(x) \Delta x^i}{i!} + o(\Delta x^n) \tag{13} f(x+Δx)=f(x)+i=1ni!f(i)(x)Δxi+o(Δxn)(13)

为方便学计算机的同学理解, 来讲几个特例. 数学学院的同学忽略.
例 1. 验证二次函数
f ( x ) = a x 2 + b (14) f(x) = a x^2 + b \tag{14} f(x)=ax2+b(14)
f ( x + Δ x ) = ( a x 2 + b ) + 2 a x Δ x + 2 a Δ x 2 / 2 = a x 2 + 2 a x Δ x + a Δ x 2 + b = a ( x + Δ x ) 2 + b f(x + \Delta x) = (a x^2 + b) + 2ax \Delta x + 2a \Delta x^2/2 = ax^2 + 2ax \Delta x + a \Delta x^2 + b = a(x + \Delta x)^2 + b f(x+Δx)=(ax2+b)+2axΔx+2aΔx2/2=ax2+2axΔx+aΔx2+b=a(x+Δx)2+b
验证结束.
注意: 泰勒级数现实的意义不在于这种一直连续可导的函数, 而是在某些区域可导的函数.

1.4 2 阶精度

我们不知道 n n n 的具体取值, 就会假设它比较大. 在数值计算的时候, 会忽略 (13) 式的 o ( Δ x n ) o(\Delta x^n) o(Δxn) 甚至前面某些累加式. 也就是说, 假设存在 10 阶导数, 但我们仅取 n = 2 n = 2 n=2 的话, 误差就被控制在 o ( Δ x 2 ) o(\Delta x^2) o(Δx2), 这时候称为 2 阶精度. 仅取 n = 4 n = 4 n=4 的话, 误差就被控制在 o ( Δ x 4 ) o(\Delta x^4) o(Δx4), 这时候称为 4 阶精度. 显然, 4 阶精度比 2 阶精度省略的值更小, 因此精度更高. 我们可以根据自己的需求, 设置相应的精度. 在地震数据数值模拟中, n + 2 n + 2 n+2 阶比 n n n 阶的误差大概低 1 个数量级. 正演模拟在传播过程中误差会不断累积, 严重的情况下出现“频散” (不应该存在的波, 见图 3), 所以我们还是倾向于多计算一些.
特别地, 仅考虑 2 阶精度的时候
f ( x + Δ x ) = f ( x ) + ∂ f ∂ x Δ x + ∂ 2 f ∂ x 2 Δ x 2 2 + o ( Δ x 2 ) (15) f(x + \Delta x) = f(x) + \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\Delta x^2}{2} + o(\Delta x^2) \tag{15} f(x+Δx)=f(x)+xfΔx+x22f2Δx2+o(Δx2)(15)
将 (15) 式移项得到
f ( x + Δ x ) − f ( x ) = ∂ f ∂ x Δ x + ∂ 2 f ∂ x 2 Δ x 2 2 + o ( Δ x 2 ) (16) f(x + \Delta x) - f(x)= \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\Delta x^2}{2} + o(\Delta x^2) \tag{16} f(x+Δx)f(x)=xfΔx+x22f2Δx2+o(Δx2)(16)
同理得到
f ( x ) − f ( x − Δ x ) = ∂ f ∂ x Δ x − ∂ 2 f ∂ x 2 Δ x 2 2 + o ( Δ x 2 ) (17) f(x) - f(x - \Delta x)= \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x - \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\Delta x^2}{2} + o(\Delta x^2) \tag{17} f(x)f(xΔx)=xfΔxx22f2Δx2+o(Δx2)(17)
这里 o ( Δ x 2 ) o(\Delta x^2) o(Δx2) 的符号可正可负.
(16) 式减去 (17) 式, 然后将两边同时除以 Δ x 2 \Delta x^2 Δx2 可得
∂ 2 f ∂ x 2 = f ( x + Δ x ) − 2 f ( x ) + f ( x − Δ x ) Δ x 2 + O ( Δ x 2 ) (18) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{f(x + \Delta x) - 2 f(x) + f(x - \Delta x)}{\Delta x^2} + O(\Delta x^2) \tag{18} x22f=Δx2f(x+Δx)2f(x)+f(xΔx)+O(Δx2)(18)
这里的高阶无穷小除了相应的变量后, 成为同阶无穷小.
注 2: 奇数阶精度不用计算, 例如 3 阶与 2 阶精度的表达式是一样的, 仅把 O ( Δ x 2 ) O(\Delta x^2) O(Δx2) 替换为 O ( Δ x 3 ) O(\Delta x^3) O(Δx3) 即可.

1.5 4 阶精度

考虑到 4 阶导数的时候
f ( x + Δ x ) = f ( x ) + ∂ f ∂ x Δ x + ∂ 2 f ∂ x 2 Δ x 2 2 + ∂ 3 f ∂ x 3 Δ x 3 6 + ∂ 4 f ∂ x 4 Δ x 4 24 + o ( Δ x 4 ) (19) f(x + \Delta x) = f(x) + \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\Delta x^2}{2} + \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} \frac{\Delta x^3}{6} + \frac{\partial^4 f}{\partial x^4} \frac{\Delta x^4}{24}+ o(\Delta x^4) \tag{19} f(x+Δx)=f(x)+xfΔx+x22f2Δx2+x33f6Δx3+x44f24Δx4+o(Δx4)(19)
f ( x + Δ x ) − f ( x ) = ∂ f ∂ x Δ x + ∂ 2 f ∂ x 2 Δ x 2 2 + ∂ 3 f ∂ x 3 Δ x 3 6 + ∂ 4 f ∂ x 4 Δ x 4 24 + o ( Δ x 4 ) (20) f(x + \Delta x) - f(x) = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\Delta x^2}{2} + \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} \frac{\Delta x^3}{6} + \frac{\partial^4 f}{\partial x^4} \frac{\Delta x^4}{24}+ o(\Delta x^4) \tag{20} f(x+Δx)f(x)=xfΔx+x22f2Δx2+x33f6Δx3+x44f24Δx4+o(Δx4)(20)
f ( x ) − f ( x − Δ x ) = ∂ f ∂ x Δ x − ∂ 2 f ∂ x 2 Δ x 2 2 + ∂ 3 f ∂ x 3 Δ x 3 6 − ∂ 4 f ∂ x 4 Δ x 4 24 + o ( Δ x 4 ) (21) f(x) - f(x - \Delta x)= \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x - \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\Delta x^2}{2} + \frac{\partial^3 f}{\partial x^3} \frac{\Delta x^3}{6} - \frac{\partial^4 f}{\partial x^4} \frac{\Delta x^4}{24}+ o(\Delta x^4) \tag{21} f(x)f(xΔx)=xfΔxx22f2Δx2+x33f6Δx3x44f24Δx4+o(Δx4)(21)
(20) 式减去 (21) 式, 然后将两边同时除以 Δ x 2 \Delta x^2 Δx2 可得
∂ 2 f ∂ x 2 = f ( x + Δ x ) − 2 f ( x ) + f ( x − Δ x ) Δ x 2 − ∂ 4 f ∂ x 4 Δ x 2 12 + o ( Δ x 2 ) (22) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{f(x + \Delta x) - 2 f(x) + f(x - \Delta x)}{\Delta x^2} - \frac{\partial^4 f}{\partial x^4} \frac{\Delta x^2}{12}+ o(\Delta x^2) \tag{22} x22f=Δx2f(x+Δx)2f(x)+f(xΔx)x44f12Δx2+o(Δx2)(22)
Δ x \Delta x Δx 换为 2 Δ x 2 \Delta x x, 同理可得
∂ 2 f ∂ x 2 = f ( x + 2 Δ x ) − 2 f ( x ) + f ( x − 2 Δ x ) 4 Δ x 2 − ∂ 4 f ∂ x 4 16 Δ x 2 12 + o ( Δ x 2 ) (23) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{f(x + 2\Delta x) - 2 f(x) + f(x - 2\Delta x)}{4 \Delta x^2} - \frac{\partial^4 f}{\partial x^4} \frac{16 \Delta x^2}{12} + o(\Delta x^2) \tag{23} x22f=x2f(x+x)2f(x)+f(xx)x44f1216Δx2+o(Δx2)(23)
(22) 式乘以 16 减去 (23) 式, 可得
∂ 2 f ∂ x 2 = 16 15 f ( x + Δ x ) − 2 f ( x ) + f ( x − Δ x ) Δ x 2 − 1 15 f ( x + 2 Δ x ) − 2 f ( x ) + f ( x − 2 Δ x ) 4 Δ x 2 + O ( Δ x 4 ) (24) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{16}{15}\frac{f(x + \Delta x) - 2 f(x) + f(x - \Delta x)}{\Delta x^2} - \frac{1}{15}\frac{f(x + 2\Delta x) - 2 f(x) + f(x - 2\Delta x)}{4 \Delta x^2}+ O(\Delta x^4) \tag{24} x22f=1516Δx2f(x+Δx)2f(x)+f(xΔx)151x2f(x+x)2f(x)+f(xx)+O(Δx4)(24)
从这里可以看到, 通过引入 2 Δ x 2 \Delta x x, 可以消去 4 阶偏导. 这是增加精度的核心技巧.

1.6 2 n 2n 2n 阶精度

通过前面的“核心技巧”, 将 (24) 式进一步推广, 可得 2 n 2n 2n 阶精度的表达式
∂ 2 f ∂ x 2 = ∑ i = 1 n ( − 1 ) i + 1 c i f ( x + i Δ x ) − 2 f ( x ) + f ( x − i Δ x ) i 2 Δ x 2 + O ( Δ x 2 n ) (25) \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \sum_{i = 1}^n (-1)^{i + 1}c_i\frac{f(x + i \Delta x) - 2 f(x) + f(x - i \Delta x)}{i^2 \Delta x^2} + O(\Delta x^{2n}) \tag{25} x22f=i=1n(1)i+1cii2Δx2f(x+iΔx)2f(x)+f(xiΔx)+O(Δx2n)(25)

其中:

  • 系数 c 1 , … , c n c_1, \dots, c_n c1,,cn 没有给出理论值. 在实际工作中, 由于 Δ x \Delta x Δx 比较大, 所以要专门计算系数, 它们与差分格式有关. 也是这个方向的重要研究内容. 表 1 给出了中间差分格式的系数.
  • 误差为 O ( Δ x 2 n ) O(\Delta x^{2n}) O(Δx2n), 即 n n n 越大误差越小, 计算量也越大 (不知道是否可以用 GPU 计算, 速度就会增快很多).
  • n n n 越大就涉及更远的点, 如果实际应用中的数据并没有对应那么高阶可导的函数, 效果不一定有那么好. 不过越远的点所对应的系数越小, 影响也没那么大.
零基础学习正演的数值模拟(含代码)_第1张图片

2. 波动方程

2.1 弦振动 (横波) 方程

参见全波形反演的深度学习方法: 第 2 章 正演, 根据牛顿第二定律
F = m a (26) F = ma \tag{26} F=ma(26)
弦振动方程为
∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 + f ( x , t ) (27) \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} + f(x, t) \tag{27} t22u(x,t)=c2x22u(x,t)+f(x,t)(27)
其中 c 2 = T / ρ c^2 = T / \rho c2=T/ρ, f ( x , t ) = F ( x , t ) / ρ f(x, t) = F(x, t) / \rho f(x,t)=F(x,t)/ρ, 左式的物理意义是瞬时加速度 a a a, 右式第一项的物理意义是 单位质量所受的力 F F F, c c c 的物理意义是速度.

进一步忽略重力 F ( x , t ) F(x, t) F(x,t) 的作用, 可以推出一维齐次波动方程的解:
∂ 2 u ( x , t ) ∂ x 2 = 1 c 2 ∂ 2 u ( x , t ) ∂ t 2 (28) \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u(x, t)}{\partial t^2} \tag{28} x22u(x,t)=c21t22u(x,t)(28)

2.2 声波 (纵波) 方程

声波仅有纵波. 考虑二维的情况, 它满足
1 v 2 ∂ 2 U ∂ t 2 = ∂ 2 U ∂ x 2 + ∂ 2 U ∂ z 2 (29) \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2 U}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 U}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 U}{\partial z^2} \tag{29} v21t22U=x22U+z22U(29)
其中 U U U 指压力. 注意该式是物理定律, 不是从其它式子推导过来的.

零基础学习正演的数值模拟(含代码)_第2张图片
图 1 矩阵网格剖分

为了便于数值模拟, 将平面进行离散化, 仅考虑某些网格交叉点, 质量、压力等仅存在于这些点 (称为质点, 不知是否专业). 这样, 我们只考察第 i i i 行第 j j j 列的质点在时间 k k k 的压力
U i , j k (30) U_{i, j}^k \tag{30} Ui,jk(30)
对于 2 阶精度, 将 (18) 式按照变量名改造后代入 (28) 式可得
1 v 2 U i , j k + 1 − 2 U i , j k + U i , j k − 1 Δ t 2 = U i + 1 , j k − 2 U i , j k + U i − 1 , j k Δ x 2 + U i , j + 1 k − 2 U i , j k + U i , j − 1 k Δ y 2 (31) \frac{1}{v^2} \frac{U_{i, j}^{k + 1} - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i, j}^{k - 1}}{\Delta t^2} = \frac{U_{i + 1, j}^k - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i - 1, j}^k}{\Delta x^2} + \frac{U_{i, j + 1}^k - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i, j - 1}^k}{\Delta y^2} \tag{31} v21Δt2Ui,jk+12Ui,jk+Ui,jk1=Δx2Ui+1,jk2Ui,jk+Ui1,jk+Δy2Ui,j+1k2Ui,jk+Ui,j1k(31)
其中 k + 1 k + 1 k+1 表示下一个时间点, i + 1 i + 1 i+1 表示下一个质点.
对于 4 阶精度, 将 (24) 式按照变量名改造后代入 (28) 式可得
1 v 2 U i , j k + 1 − 2 U i , j k + U i , j k − 1 Δ t 2 = c 1 U i + 1 , j k − 2 U i , j k + U i − 1 , j k Δ x 2 + c 1 U i , j + 1 k − 2 U i , j k + U i , j − 1 k Δ y 2 + c 2 U i + 2 , j k − 2 U i , j k + U i − 2 , j k Δ x 2 + c 2 U i , j + 2 k − 2 U i , j k + U i , j − 2 k Δ y 2 + O ( Δ x 4 ) (32) \begin{array}{ll}\frac{1}{v^2} \frac{U_{i, j}^{k + 1} - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i, j}^{k - 1}}{\Delta t^2} = &c_1 \frac{U_{i + 1, j}^k - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i - 1, j}^k}{\Delta x^2} + c_1 \frac{U_{i, j + 1}^k - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i, j - 1}^k}{\Delta y^2}\\ & + c_2 \frac{U_{i + 2, j}^k - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i - 2, j}^k}{\Delta x^2} + c_2 \frac{U_{i, j + 2}^k - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i, j - 2}^k}{\Delta y^2}\\ & + O(\Delta x^4) \end{array} \tag{32} v21Δt2Ui,jk+12Ui,jk+Ui,jk1=c1Δx2Ui+1,jk2Ui,jk+Ui1,jk+c1Δy2Ui,j+1k2Ui,jk+Ui,j1k+c2Δx2Ui+2,jk2Ui,jk+Ui2,jk+c2Δy2Ui,j+2k2Ui,jk+Ui,j2k+O(Δx4)(32)
继续推广可获得 2 n 2n 2n 阶精度的方程
1 v 2 U i , j k + 1 − 2 U i , j k + U i , j k − 1 Δ t 2 = ∑ m = 1 n ( c m U i + m , j k − 2 U i , j k + U i − m , j k Δ x 2 + c m U i , j + m k − 2 U i , j k + U i , j − m k Δ y 2 ) + O ( Δ x 2 n ) (32) \frac{1}{v^2} \frac{U_{i, j}^{k + 1} - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i, j}^{k - 1}}{\Delta t^2} = \sum_{m = 1}^n \left(c_m \frac{U_{i + m, j}^k - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i - m, j}^k}{\Delta x^2} + c_m \frac{U_{i, j + m}^k - 2 U_{i, j}^{k} + U_{i, j - m}^k}{\Delta y^2}\right) + O(\Delta x^{2n})\tag{32} v21Δt2Ui,jk+12Ui,jk+Ui,jk1=m=1n(cmΔx2Ui+m,jk2Ui,jk+Uim,jk+cmΔy2Ui,j+mk2Ui,jk+Ui,jmk)+O(Δx2n)(32)

利用式 (31) - (33), 根据 k k k k − 1 k - 1 k1 时刻各网格点的声压, 可以计算出 k + 1 k + 1 k+1 时刻各网格点的声压. 这样我们就可以正演啦.

3. 代码与结果

3.1 雷克子波

振源需要产生一个波, 它持续一小段时间.

tic
clc
close all
clear all

end_time = 0.5; % Total simulation time, in seconds
delta_t = 0.0005; % Time step, in seconds
f0 = 30; % The wave frequency, in 10~40 Hz

ricker_wave = zeros(end_time / delta_t + 1);
i = 1;
for time = 0: delta_t: end_time
    ricker_wave(i) = 5.76 * f0^2 * (1 - 16 * (0.6 * f0 * time - 1)^2) * exp(-8 * (0.6 * f0 * time-1)^2);
    i = i + 1;
end

plot(ricker_wave);
零基础学习正演的数值模拟(含代码)_第3张图片
图 1. 雷克子波.

根据代码生成的子波如图 1 所示. 用它可以模拟振源仅波动一次的情况, 从开始小的振幅, 到最大振幅, 又来一个小振幅, 就形成了一个完整的波. 当 time 比较大的时候, 波动几乎为 0.

3.2 声波 2 阶精度

根据 (31) 式可以写出第一个声波方程所对应的模拟过程.

% acousti_wave.m
% Forward simulation of acoustic wave.
tic
clc
close all
clear all

end_time = 0.5; % Total simulation time, in seconds
delta_t = 0.0005; % Time step, in seconds
delta_x = 6; % Space step in the X direction, in meters
delta_z = 6; % Space step in the Z direction, in meters

cnx = 301; % Number of grids in X direction
cnz = 301; % Number of grids in Z direction

v = 1500; % The velocity of the wave, in meters/second
sx = (cnx + 1)/2; % The X position of the wave source
sz = (cnz + 1)/2; % The Z position of the wave source

f0 = 30; % The wave frequency, in 10~40 Hz

% Initialization
u_now = zeros(cnx, cnz); % The pressure at the current moment, it is a matrix for all points
u_prev = zeros(cnx, cnz); % The pressure at the previous moment
u_next = zeros(cnx, cnz); % The pressure at the next moment

% Simulate
for time = 0: delta_t: end_time
  for i = 3: cnx - 2
    for j = 3: cnz - 2
      % Implement Eq. (31)
      part1 = (-2 * u_now(i, j) + u_now(i + 1, j) + u_now(i - 1, j)) / delta_x^2;
      part2 = (-2 * u_now(i, j) + u_now(i, j + 1) + u_now(i, j - 1)) / delta_z^2;
      u_next(i, j) = 2 * u_now(i, j) - u_prev(i, j) + v^2 * (part1 + part2) * delta_t^2;
    end
  end
  % The wave at the source
  u_next(sx, sz) = 5.76 * f0^2 * (1 - 16 * (0.6 * f0 * time - 1)^2) * exp(-8 * (0.6 * f0 * time-1)^2);
  % Update all points
  u_prev = u_now;
  u_now = u_next;
end

% Paint
surf(u_now)
shading interp;
view(2); %view(90,90)
colormap(gray);

toc
零基础学习正演的数值模拟(含代码)_第4张图片
图 2. 波场快照.

图 2 给出了 0.5 秒时的波场快照. 和池塘里丢一颗石头相似, 振源来自于 (151, 151), 因此 0.5 秒时波传播到外面 黑、白、黑三个圈依次对应于图 1 的振幅负、正、负.

3.3 声波 4 阶精度时的频散

修改步长、网格点参数.

% acousti_wave.m
% Forward simulation of acoustic wave.
tic
clc
close all
clear all

end_time = 0.5; % Total simulation time, in seconds
delta_t = 0.0005; % Time step, in seconds
delta_x = 12; % Space step in the X direction, in meters
delta_z = 12; % Space step in the Z direction, in meters

cnx = 151; % Number of grids in X direction
cnz = 151; % Number of grids in Z direction

v = 1500; % The velocity of the wave, in meters/second
sx = (cnx + 1)/2; % The X position of the wave source
sz = (cnz + 1)/2; % The Z position of the wave source

f0 = 30; % The wave frequency, in 10~40 Hz

c_1 = 9/8; % 16/15, 1
c_2 = -1/24; % -1/15, 0
% Initialization
u_now = zeros(cnx, cnz); % The pressure at the current moment, it is a matrix for all points
u_prev = zeros(cnx, cnz); % The pressure at the previous moment
u_next = zeros(cnx, cnz); % The pressure at the next moment

position_x = 70;
position_z = 70;
temp_wave = zeros(end_time / delta_t + 1);

k = 1;
% Simulate
for time = 0: delta_t: end_time
  for i = 3: cnx - 2
    for j = 3: cnz - 2
      % Implement Eq. (31)
      part1_1 = (-2 * u_now(i, j) + u_now(i + 1, j) + u_now(i - 1, j)) / delta_x^2;
      part1_2 = (-2 * u_now(i, j) + u_now(i, j + 1) + u_now(i, j - 1)) / delta_z^2;
      part2_1 = (-2 * u_now(i, j) + u_now(i + 2, j) + u_now(i - 2, j)) / delta_x^2;
      part2_2 = (-2 * u_now(i, j) + u_now(i, j + 2) + u_now(i, j - 2)) / delta_z^2;
      
      parts = c_1 * (part1_1 + part1_2) + c_2 * (part2_1 + part2_2);
      u_next(i, j) = 2 * u_now(i, j) - u_prev(i, j) + v^2 * parts * delta_t^2;
    end
  end
  % The wave at the source
  u_next(sx, sz) = 5.76 * f0^2 * (1 - 16 * (0.6 * f0 * time - 1)^2) * exp(-8 * (0.6 * f0 * time-1)^2);
  % Update all points
  u_prev = u_now;
  u_now = u_next;
  
  temp_wave(k) = u_next(position_x, position_z);
  k = k + 1;  
end

plot(temp_wave);

toc
零基础学习正演的数值模拟(含代码)_第5张图片
图 3. 采用系数 $(1, 0)$, 即只保留 2 阶精度的波形.
零基础学习正演的数值模拟(含代码)_第6张图片
图 4. 采用系数 $(16/15, -1/15)$, 即理论保留 4 阶精度的波形.
零基础学习正演的数值模拟(含代码)_第7张图片
图 5. 采用系数 $(9/8, -1/24)$, 即优化系数的波形.

比较图 3至图 5 可以发现, 使用更好的系数, 可以一定程度压制多余的子波, 即频散. 但要接近图 1 (振源) 的效果, 还需要其它的方法.

3.4 运用于一般的波场数据

图 2 这种波场快照仅仅是一个圆圈. 对于实际的数据, 不同点的速度是不一样的, 代码会复杂很多吧?
No no no !!!
只需要把前面代码里的代码 v 替换成一个二维数组

v = zeros(cnx, cnz);

然后从数据文件里面将它读入. 其它的代码不需要改, (29) 式的声波方程已经把所有东西都考虑了.
有没有再次被物理雷到?

零基础学习正演的数值模拟(含代码)_第8张图片
图 6. 波场快照随着时间的改变, 以及地震数据的采集.

图 6 由张星移同学给出. 振源来自于中间顶部, 这符合我们在地球表面放炮的设定. 如左图所示, 波场快照开始的时候是一个半圆, 然后到深度 200 左右的时候遇到地层速度变化 (可能从泥土层到达花岗石层), 出现在反射、干涉等. 右图则记录了检波器 (均匀布置在地面上) 所获得的时序信号.

4. 小结

正演模拟看起来高大上, 但入门也没那么困难. 当然, 你要做深入了, 还是高大上!

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