穿越冷酷仙境
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基础数据结构

基础数据结构

1.数组

概述

定义

在计算机科学中，数组是由一组元素（值或变量）组成的数据结构，每个元素有至少一个索引或键来标识

因为数组内的元素是连续存储的，所以数组中元素的地址，可以通过其索引计算出来，例如：

int[] array = {1,2,3,4,5}

知道了数组的数据起始地址 $BaseAddress$，就可以由公式 $BaseAddress + i * size$ 计算出索引 $i$ 元素的地址

  • $i$ 即索引，在 Java、C 等语言都是从 0 开始

  • $size$ 是每个元素占用字节，例如 $int$ 占 $4$，$double$ 占 $8$

小测试

byte[] array = {1,2,3,4,5}

已知 array 的数据的起始地址是 0x7138f94c8，那么元素 3 的地址是什么？

答：0x7138f94c8 + 2 * 1 = 0x7138f94ca

空间占用  

Java 中数组结构为

  • 8 字节 markword

  • 4 字节 class 指针（压缩 class 指针的情况）

  • 4 字节 数组大小（决定了数组最大容量是 $2^{32}$）

  • 数组元素 + 对齐字节（java 中所有对象大小都是 8 字节的整数倍12，不足的要用对齐字节补足）

例如

int[] array = {1, 2, 3, 4, 5};

的大小为 40 个字节，组成如下

8 + 4 + 4 + 5*4 + 4(alignment)

随机访问性能

即根据索引查找元素，时间复杂度是 $O(1)$

动态数组

java 版本

public class DynamicArray implements Iterable {
    private int size = 0; // 逻辑大小
    private int capacity = 8; // 容量
    private int[] array = {};


    /**
     * 向最后位置 [size] 添加元素
     *
     * @param element 待添加元素
     */
    public void addLast(int element) {
        add(size, element);
    }

    /**
     * 向 [0 .. size] 位置添加元素
     *
     * @param index   索引位置
     * @param element 待添加元素
     */
    public void add(int index, int element) {
        checkAndGrow();

        // 添加逻辑
        if (index >= 0 && index < size) {
            // 向后挪动, 空出待插入位置
            System.arraycopy(array, index,
                    array, index + 1, size - index);
        }
        array[index] = element;
        size++;
    }

    private void checkAndGrow() {
        // 容量检查
        if (size == 0) {
            array = new int[capacity];
        } else if (size == capacity) {
            // 进行扩容, 1.5 1.618 2
            capacity += capacity >> 1;
            int[] newArray = new int[capacity];
            System.arraycopy(array, 0,
                    newArray, 0, size);
            array = newArray;
        }
    }

    /**
     * 从 [0 .. size) 范围删除元素
     *
     * @param index 索引位置
     * @return 被删除元素
     */
    public int remove(int index) { // [0..size)
        int removed = array[index];
        if (index < size - 1) {
            // 向前挪动
            System.arraycopy(array, index + 1,
                    array, index, size - index - 1);
        }
        size--;
        return removed;
    }


    /**
     * 查询元素
     *
     * @param index 索引位置, 在 [0..size) 区间内
     * @return 该索引位置的元素
     */
    public int get(int index) {
        return array[index];
    }

    /**
     * 遍历方法1
     *
     * @param consumer 遍历要执行的操作, 入参: 每个元素
     */
    public void foreach(Consumer consumer) {
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            // 提供 array[i]
            // 返回 void
            consumer.accept(array[i]);
        }
    }

    /**
     * 遍历方法2 - 迭代器遍历
     */
    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator() {
            int i = 0;

            @Override
            public boolean hasNext() { // 有没有下一个元素
                return i < size;
            }

            @Override
            public Integer next() { // 返回当前元素,并移动到下一个元素
                return array[i++];
            }
        };
    }

    /**
     * 遍历方法3 - stream 遍历
     *
     * @return stream 流
     */
    public IntStream stream() {
        return IntStream.of(Arrays.copyOfRange(array, 0, size));
    }
}

这些方法实现，都简化了 index 的有效性判断，假设输入的 index 都是合法的

插入或删除性能

头部位置，时间复杂度是 $O(n)$

中间位置，时间复杂度是 $O(n)$

尾部位置，时间复杂度是 $O(1)$（均摊来说）

二维数组

int[][] array = {
    {11, 12, 13, 14, 15},
    {21, 22, 23, 24, 25},
    {31, 32, 33, 34, 35},
};

内存图如下

基础数据结构_第1张图片

  • 二维数组占 32 个字节，其中 array[0]，array[1]，array[2] 三个元素分别保存了指向三个一维数组的引用

  • 三个一维数组各占 40 个字节

  • 它们在内层布局上是连续的

更一般的，对一个二维数组 $Arraym$

  • $m$ 是外层数组的长度，可以看作 row 行

  • $n$ 是内层数组的长度，可以看作 column 列

  • 当访问 $Arrayi$，$0\leq i \lt m, 0\leq j \lt n$时，就相当于

    • 先找到第 $i$ 个内层数组（行）

    • 再找到此内层数组中第 $j$ 个元素（列)

小测试

Java 环境下（不考虑类指针和引用压缩，此为默认情况），有下面的二维数组

byte[][] array = {
    {11, 12, 13, 14, 15},
    {21, 22, 23, 24, 25},
    {31, 32, 33, 34, 35},
};

已知 array 对象起始地址是 0x1000，那么 23 这个元素的地址是什么？

答：

  • 起始地址 0x1000

  • 外层数组大小：16字节对象头 + 3元素 * 每个引用4字节 + 4 对齐字节 = 32 = 0x20

  • 第一个内层数组大小：16字节对象头 + 5元素 * 每个byte1字节 + 3 对齐字节 = 24 = 0x18

  • 第二个内层数组，16字节对象头 = 0x10，待查找元素索引为 2

  • 最后结果 = 0x1000 + 0x20 + 0x18 + 0x10 + 2*1 = 0x104a

局部性原理

这里只讨论空间局部性

  • cpu 读取内存（速度慢）数据后，会将其放入高速缓存（速度快）当中，如果后来的计算再用到此数据，在缓存中能读到的话，就不必读内存了

  • 缓存的最小存储单位是缓存行（cache line），一般是 64 bytes，一次读的数据少了不划算啊，因此最少读 64 bytes 填满一个缓存行，因此读入某个数据时也会读取其临近的数据，这就是所谓空间局部性

对效率的影响

比较下面 ij 和 ji 两个方法的执行效率

int rows = 1000000;
int columns = 14;
int[][] a = new int[rows][columns];

StopWatch sw = new StopWatch();
sw.start("ij");
ij(a, rows, columns);
sw.stop();
sw.start("ji");
ji(a, rows, columns);
sw.stop();
System.out.println(sw.prettyPrint());

ij 方法

public static void ij(int[][] a, int rows, int columns) {
    long sum = 0L;
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < columns; j++) {
            sum += a[i][j];
        }
    }
    System.out.println(sum);
}

ji 方法

public static void ji(int[][] a, int rows, int columns) {
    long sum = 0L;
    for (int j = 0; j < columns; j++) {
        for (int i = 0; i < rows; i++) {
            sum += a[i][j];
        }
    }
    System.out.println(sum);
}

执行结果

0
0
StopWatch '': running time = 96283300 ns
---------------------------------------------
ns         %     Task name
---------------------------------------------
016196200  017%  ij
080087100  083%  ji

可以看到 ij 的效率比 ji 快很多，为什么呢？

  • 缓存是有限的，当新数据来了后，一些旧的缓存行数据就会被覆盖

  • 如果不能充分利用缓存的数据，就会造成效率低下

以 ji 执行为例，第一次内循环要读入 $[0,0]$ 这条数据，由于局部性原理，读入 $[0,0]$ 的同时也读入了 $[0,1] ... [0,13]$，如图所示

基础数据结构_第2张图片

 但很遗憾，第二次内循环要的是 $[1,0]$ 这条数据，缓存中没有，于是再读入了下图的数据

基础数据结构_第3张图片

 这显然是一种浪费，因为 $[0,1] ... [0,13]$ 包括 $[1,1] ... [1,13]$ 这些数据虽然读入了缓存，却没有及时用上，而缓存的大小是有限的，等执行到第九次内循环时

基础数据结构_第4张图片

缓存的第一行数据已经被新的数据 $[8,0] ... [8,13]$ 覆盖掉了，以后如果再想读，比如 $[0,1]$，又得到内存去读了

同理可以分析 ij 函数则能充分利用局部性原理加载到的缓存数据

举一反三

  1. I/O 读写时同样可以体现局部性原理

  2. 数组可以充分利用局部性原理，那么链表呢？

    答：链表不行，因为链表的元素并非相邻存储

越界检查

java 中对数组元素的读写都有越界检查，类似于下面的代码

bool is_within_bounds(int index) const        
{ 
    return 0 <= index && index < length(); 
}

  • 代码位置：openjdk\src\hotspot\share\oops\arrayOop.hpp

只不过此检查代码，不需要由程序员自己来调用，JVM 会帮我们调用

2. 链表

概述

定义

在计算机科学中，链表是数据元素的线性集合，其每个元素都指向下一个元素，元素存储上并不连续

可以分类为

单向链表，每个元素只知道其下一个元素是谁

双向链表，每个元素知道其上一个元素和下一个元素

循环链表，通常的链表尾节点 tail 指向的都是 null，而循环链表的 tail 指向的是头节点 head

链表内还有一种特殊的节点称为哨兵（Sentinel）节点，也叫做哑元（ Dummy）节点，它不存储数据，通常用作头尾，用来简化边界判断，如下图所示

随机访问性能

根据 index 查找，时间复杂度 $O(n)$

插入或删除性能

  • 起始位置：$O(1)$

  • 结束位置：如果已知 tail 尾节点是 $O(1)$，不知道 tail 尾节点是 $O(n)$

  • 中间位置：根据 index 查找时间 + $O(1)$

单向链表

根据单向链表的定义，首先定义一个存储 value 和 next 指针的类 Node，和一个描述头部节点的引用

public class SinglyLinkedList {
    
    private Node head; // 头部节点
    
    private static class Node { // 节点类
        int value;
        Node next;

        public Node(int value, Node next) {
            this.value = value;
            this.next = next;
        }
    }
}

  • Node 定义为内部类，是为了对外隐藏实现细节，没必要让类的使用者关心 Node 结构

  • 定义为 static 内部类，是因为 Node 不需要与 SinglyLinkedList 实例相关，多个 SinglyLinkedList实例能共用 Node 类定义

头部添加

public class SinglyLinkedList {
    // ...
    public void addFirst(int value) {
		this.head = new Node(value, this.head);
    }
}

  • 如果 this.head == null，新增节点指向 null，并作为新的 this.head

  • 如果 this.head != null，新增节点指向原来的 this.head，并作为新的 this.head

    • 注意赋值操作执行顺序是从右到左

while 遍历

public class SinglyLinkedList {
    // ...
    public void loop() {
        for (Node curr = this.head; curr != null; curr = curr.next) {
            // 做一些事
        }
    }
}

以上两种遍历都可以把要做的事以 Consumer 函数的方式传递进来

  • Consumer 的规则是一个参数，无返回值，因此像 System.out::println 方法等都是 Consumer

  • 调用 Consumer 时，将当前节点 curr.value 作为参数传递给它

迭代器遍历

public class SinglyLinkedList implements Iterable {
    // ...
    private class NodeIterator implements Iterator {
        Node curr = head;
        
        public boolean hasNext() {
            return curr != null;
        }

        public Integer next() {
            int value = curr.value;
            curr = curr.next;
            return value;
        }
    }
    
    public Iterator iterator() {
        return new NodeIterator();
    }
}

  • hasNext 用来判断是否还有必要调用 next

  • next 做两件事

    • 返回当前节点的 value

    • 指向下一个节点

  • NodeIterator 要定义为非 static 内部类，是因为它与 SinglyLinkedList 实例相关，是对某个 SinglyLinkedList 实例的迭代

递归遍历  

public class SinglyLinkedList implements Iterable {
    // ...
    public void loop() {
        recursion(this.head);
    }

    private void recursion(Node curr) {
        if (curr == null) {
            return;
        }
        // 前面做些事
        recursion(curr.next);
        // 后面做些事
    }
}

尾部添加

public class SinglyLinkedList {
    // ...
    private Node findLast() {
        if (this.head == null) {
            return null;
        }
        Node curr;
        for (curr = this.head; curr.next != null; ) {
            curr = curr.next;
        }
        return curr;
    }
    
    public void addLast(int value) {
        Node last = findLast();
        if (last == null) {
            addFirst(value);
            return;
        }
        last.next = new Node(value, null);
    }
}

  • 注意，找最后一个节点，终止条件是 curr.next == null

  • 分成两个方法是为了代码清晰，而且 findLast() 之后还能复用

尾部添加多个

public class SinglyLinkedList {
    // ...
	public void addLast(int first, int... rest) {
        
        Node sublist = new Node(first, null);
        Node curr = sublist;
        for (int value : rest) {
            curr.next = new Node(value, null);
            curr = curr.next;
        }
        
        Node last = findLast();
        if (last == null) {
            this.head = sublist;
            return;
        }
        last.next = sublist;
    }
}

  • 先串成一串 sublist

  • 再作为一个整体添加

根据索引获取

public class SinglyLinkedList {
    // ...
	private Node findNode(int index) {
        int i = 0;
        for (Node curr = this.head; curr != null; curr = curr.next, i++) {
            if (index == i) {
                return curr;
            }
        }
        return null;
    }
    
    private IllegalArgumentException illegalIndex(int index) {
        return new IllegalArgumentException(String.format("index [%d] 不合法%n", index));
    }
    
    public int get(int index) {
        Node node = findNode(index);
        if (node != null) {
            return node.value;
        }
        throw illegalIndex(index);
    }
}

同样，分方法可以实现复用

插入

public class SinglyLinkedList {
    // ...
	public void insert(int index, int value) {
        if (index == 0) {
            addFirst(value);
            return;
        }
        Node prev = findNode(index - 1); // 找到上一个节点
        if (prev == null) { // 找不到
            throw illegalIndex(index);
        }
        prev.next = new Node(value, prev.next);
    }
}

插入包括下面的删除，都必须找到上一个节点

删除

public class SinglyLinkedList {
    // ...
	public void remove(int index) {
        if (index == 0) {
            if (this.head != null) {
                this.head = this.head.next;
                return;
            } else {
                throw illegalIndex(index);
            }
        }
        Node prev = findNode(index - 1);
        Node curr;
        if (prev != null && (curr = prev.next) != null) {
            prev.next = curr.next;
        } else {
            throw illegalIndex(index);
        }
    }
}

  • 第一个 if 块对应着 removeFirst 情况

  • 最后一个 if 块对应着至少得两个节点的情况

    • 不仅仅判断上一个节点非空，还要保证当前节点非空

单向链表（带哨兵）

观察之前单向链表的实现，发现每个方法内几乎都有判断是不是 head 这样的代码，能不能简化呢？

用一个不参与数据存储的特殊 Node 作为哨兵，它一般被称为哨兵或哑元，拥有哨兵节点的链表称为带头链表

public class SinglyLinkedListSentinel {
    // ...
    private Node head = new Node(Integer.MIN_VALUE, null);
}

  • 具体存什么值无所谓，因为不会用到它的值

加入哨兵节点后，代码会变得比较简单，先看几个工具方法

public class SinglyLinkedListSentinel {
    // ...
    
    // 根据索引获取节点
    private Node findNode(int index) {
        int i = -1;
        for (Node curr = this.head; curr != null; curr = curr.next, i++) {
            if (i == index) {
                return curr;
            }
        }
        return null;
    }
    
    // 获取最后一个节点
    private Node findLast() {
        Node curr;
        for (curr = this.head; curr.next != null; ) {
            curr = curr.next;
        }
        return curr;
    }
}

  • findNode 与之前类似，只是 i 初始值设置为 -1 对应哨兵，实际传入的 index 也是 $[-1, \infty)$

  • findLast 绝不会返回 null 了，就算没有其它节点，也会返回哨兵作为最后一个节点

这样，代码简化为

public class SinglyLinkedListSentinel {
    // ...
    
    public void addLast(int value) {
        Node last = findLast();
        /*
        改动前
        if (last == null) {
            this.head = new Node(value, null);
            return;
        }
        */
        last.next = new Node(value, null);
    }
    
    public void insert(int index, int value) {
        /*
        改动前
        if (index == 0) {
            this.head = new Node(value, this.head);
            return;
        }
        */
        // index 传入 0 时，返回的是哨兵
        Node prev = findNode(index - 1);
        if (prev != null) {
            prev.next = new Node(value, prev.next);
        } else {
            throw illegalIndex(index);
        }
    }
    
    public void remove(int index) {
        /*
        改动前
        if (index == 0) {
            if (this.head != null) {
                this.head = this.head.next;
                return;
            } else {
                throw illegalIndex(index);
            }
        }
        */
        // index 传入 0 时，返回的是哨兵
        Node prev = findNode(index - 1);
        Node curr;
        if (prev != null && (curr = prev.next) != null) {
            prev.next = curr.next;
        } else {
            throw illegalIndex(index);
        }
    }
    
    public void addFirst(int value) {
        /*
        改动前
        this.head = new Node(value, this.head);
        */
		this.head.next = new Node(value, this.head.next);
        // 也可以视为 insert 的特例, 即 insert(0, value);
    }
}

对于删除，前面说了【最后一个 if 块对应着至少得两个节点的情况】，现在有了哨兵，就凑足了两个节点

双向链表（带哨兵）

public class DoublyLinkedListSentinel implements Iterable {

    private final Node head;
    private final Node tail;

    public DoublyLinkedListSentinel() {
        head = new Node(null, 666, null);
        tail = new Node(null, 888, null);
        head.next = tail;
        tail.prev = head;
    }

    private Node findNode(int index) {
        int i = -1;
        for (Node p = head; p != tail; p = p.next, i++) {
            if (i == index) {
                return p;
            }
        }
        return null;
    }

    public void addFirst(int value) {
        insert(0, value);
    }

    public void removeFirst() {
        remove(0);
    }

    public void addLast(int value) {
        Node prev = tail.prev;
        Node added = new Node(prev, value, tail);
        prev.next = added;
        tail.prev = added;
    }

    public void removeLast() {
        Node removed = tail.prev;
        if (removed == head) {
            throw illegalIndex(0);
        }
        Node prev = removed.prev;
        prev.next = tail;
        tail.prev = prev;
    }

    public void insert(int index, int value) {
        Node prev = findNode(index - 1);
        if (prev == null) {
            throw illegalIndex(index);
        }
        Node next = prev.next;
        Node inserted = new Node(prev, value, next);
        prev.next = inserted;
        next.prev = inserted;
    }

    public void remove(int index) {
        Node prev = findNode(index - 1);
        if (prev == null) {
            throw illegalIndex(index);
        }
        Node removed = prev.next;
        if (removed == tail) {
            throw illegalIndex(index);
        }
        Node next = removed.next;
        prev.next = next;
        next.prev = prev;
    }

    private IllegalArgumentException illegalIndex(int index) {
        return new IllegalArgumentException(
                String.format("index [%d] 不合法%n", index));
    }

    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator() {
            Node p = head.next;

            @Override
            public boolean hasNext() {
                return p != tail;
            }

            @Override
            public Integer next() {
                int value = p.value;
                p = p.next;
                return value;
            }
        };
    }

    static class Node {
        Node prev;
        int value;
        Node next;

        public Node(Node prev, int value, Node next) {
            this.prev = prev;
            this.value = value;
            this.next = next;
        }
    }
}

环形链表（带哨兵）

双向环形链表带哨兵，这时哨兵既作为头，也作为尾

基础数据结构_第5张图片

参考实现  

public class DoublyLinkedListSentinel implements Iterable {

    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator<>() {
            Node p = sentinel.next;

            @Override
            public boolean hasNext() {
                return p != sentinel;
            }

            @Override
            public Integer next() {
                int value = p.value;
                p = p.next;
                return value;
            }
        };
    }

    static class Node {
        Node prev;
        int value;
        Node next;

        public Node(Node prev, int value, Node next) {
            this.prev = prev;
            this.value = value;
            this.next = next;
        }
    }

    private final Node sentinel = new Node(null, -1, null); // 哨兵

    public DoublyLinkedListSentinel() {
        sentinel.next = sentinel;
        sentinel.prev = sentinel;
    }

    /**
     * 添加到第一个
     * @param value 待添加值
     */
    public void addFirst(int value) {
        Node next = sentinel.next;
        Node prev = sentinel;
        Node added = new Node(prev, value, next);
        prev.next = added;
        next.prev = added;
    }

    /**
     * 添加到最后一个
     * @param value 待添加值
     */
    public void addLast(int value) {
        Node prev = sentinel.prev;
        Node next = sentinel;
        Node added = new Node(prev, value, next);
        prev.next = added;
        next.prev = added;
    }
    
    /**
     * 删除第一个
     */
    public void removeFirst() {
        Node removed = sentinel.next;
        if (removed == sentinel) {
            throw new IllegalArgumentException("非法");
        }
        Node a = sentinel;
        Node b = removed.next;
        a.next = b;
        b.prev = a;
    }

    /**
     * 删除最后一个
     */
    public void removeLast() {
        Node removed = sentinel.prev;
        if (removed == sentinel) {
            throw new IllegalArgumentException("非法");
        }
        Node a = removed.prev;
        Node b = sentinel;
        a.next = b;
        b.prev = a;
    }

    /**
     * 根据值删除节点
     * 
假定 value 在链表中作为 key, 有唯一性

     * @param value 待删除值
     */
    public void removeByValue(int value) {
        Node removed = findNodeByValue(value);
        if (removed != null) {
            Node prev = removed.prev;
            Node next = removed.next;
            prev.next = next;
            next.prev = prev;
        }
    }

    private Node findNodeByValue(int value) {
        Node p = sentinel.next;
        while (p != sentinel) {
            if (p.value == value) {
                return p;
            }
            p = p.next;
        }
        return null;
    }

}

3. 递归

概述

定义

计算机科学中，递归是一种解决计算问题的方法，其中解决方案取决于同一类问题的更小子集

比如单链表递归遍历的例子：

void f(Node node) {
    if(node == null) {
        return;
    }
    println("before:" + node.value)
    f(node.next);
    println("after:" + node.value)
}

说明：

  1. 自己调用自己，如果说每个函数对应着一种解决方案，自己调用自己意味着解决方案是一样的（有规律的）

  2. 每次调用，函数处理的数据会较上次缩减（子集），而且最后会缩减至无需继续递归

  3. 内层函数调用（子集处理）完成，外层函数才能算调用完成

原理

假设链表中有 3 个节点，value 分别为 1，2，3，以上代码的执行流程就类似于下面的伪码

// 1 -> 2 -> 3 -> null  f(1)

void f(Node node = 1) {
    println("before:" + node.value) // 1
    void f(Node node = 2) {
        println("before:" + node.value) // 2
        void f(Node node = 3) {
            println("before:" + node.value) // 3
            void f(Node node = null) {
                if(node == null) {
                    return;
                }
            }
            println("after:" + node.value) // 3
        }
        println("after:" + node.value) // 2
    }
    println("after:" + node.value) // 1
}

思路

  1. 确定能否使用递归求解

  2. 推导出递推关系，即父问题与子问题的关系，以及递归的结束条件

例如之前遍历链表的递推关系为

  • 深入到最里层叫做递

  • 从最里层出来叫做归

  • 在递的过程中，外层函数内的局部变量（以及方法参数）并未消失，归的时候还可以用到

单路递归 Single Recursion

E01. 阶乘

用递归方法求阶乘

  • 阶乘的定义 $n!= 1⋅2⋅3⋯(n-2)⋅(n-1)⋅n$，其中 $n$ 为自然数，当然 $0! = 1$

  • 递推关系

代码

private static int f(int n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n * f(n - 1);
}

 拆解伪码如下，假设 n 初始值为 3

f(int n = 3) { // 解决不了,递
    return 3 * f(int n = 2) { // 解决不了,继续递
        return 2 * f(int n = 1) {
            if (n == 1) { // 可以解决, 开始归
                return 1;
            }
        }
    }
}

E02. 反向打印字符串

用递归反向打印字符串，n 为字符在整个字符串 str 中的索引位置

  • 递：n 从 0 开始，每次 n + 1，一直递到 n == str.length() - 1

  • 归：从 n == str.length() 开始归，从归打印，自然是逆序的

递推关系

代码为

public static void reversePrint(String str, int index) {
    if (index == str.length()) {
        return;
    }
    reversePrint(str, index + 1);
    System.out.println(str.charAt(index));
}

 拆解伪码如下，假设字符串为 "abc"

void reversePrint(String str, int index = 0) {
    void reversePrint(String str, int index = 1) {
        void reversePrint(String str, int index = 2) {
            void reversePrint(String str, int index = 3) { 
                if (index == str.length()) {
                    return; // 开始归
                }
            }
            System.out.println(str.charAt(index)); // 打印 c
        }
        System.out.println(str.charAt(index)); // 打印 b
    }
    System.out.println(str.charAt(index)); // 打印 a
}

多路递归 Multi Recursion

E01. 斐波那契数列

  • 之前的例子是每个递归函数只包含一个自身的调用，这称之为 single recursion

  • 如果每个递归函数例包含多个自身调用，称之为 multi recursion

递推关系

下面的表格列出了数列的前几项

 

实现

public static int f(int n) {
    if (n == 0) {
        return 0;
    }
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return f(n - 1) + f(n - 2);
}

 

时间复杂度

  • 递归的次数也符合斐波那契规律，$2 * f(n+1)-1$

  • 时间复杂度推导过程

    • 斐波那契通项公式 $f(n) = \frac{1}{\sqrt{5}}*({\frac{1+\sqrt{5}}{2}}^n - {\frac{1-\sqrt{5}}{2}}^n)$

    • 简化为：$f(n) = \frac{1}{2.236}*({1.618}^n - {(-0.618)}^n)$

    • 带入递归次数公式 $2\frac{1}{2.236}({1.618}^{n+1} - {(-0.618)}^{n+1})-1$

    • 时间复杂度为 $\Theta(1.618^n)$

  1. 更多 Fibonacci 参考8910

  2. 以上时间复杂度分析，未考虑大数相加的因素

变体1 - 兔子问题8  

基础数据结构_第6张图片

  • 第一个月，有一对未成熟的兔子（黑色，注意图中个头较小）

  • 第二个月，它们成熟

  • 第三个月，它们能产下一对新的小兔子（蓝色）

  • 所有兔子遵循相同规律，求第 $n$ 个月的兔子数

分析

兔子问题如何与斐波那契联系起来呢？设第 n 个月兔子数为 $f(n)$

  • $f(n)$ = 上个月兔子数 + 新生的小兔子数

  • 而【新生的小兔子数】实际就是【上个月成熟的兔子数】

  • 因为需要一个月兔子就成熟，所以【上个月成熟的兔子数】也就是【上上个月的兔子数】

  • 上个月兔子数，即 $f(n-1)$

  • 上上个月的兔子数，即 $f(n-2)$

因此本质还是斐波那契数列，只是从其第一项开始

变体2 - 青蛙爬楼梯

  • 楼梯有 $n$ 阶

  • 青蛙要爬到楼顶，可以一次跳一阶，也可以一次跳两阶

  • 只能向上跳，问有多少种跳法

分析

n        跳法 规律
1 (1) 暂时看不出
 
2 (1,1) (2) 暂时看不出
3 (1,1,1) (1,2) (2,1) 暂时看不出
4 (1,1,1,1) (1,2,1) (2,1,1) (1,1,2) (2,2) 最后一跳，跳一个台阶的，基于f(3) 最后一跳，跳两个台阶的，基于f(2)
5 ... ...

 

  • 因此本质上还是斐波那契数列，只是从其第二项开始

  • 对应 leetcode 题目 70. 爬楼梯 - 力扣（LeetCode）

递归优化-记忆法

基础数据结构_第7张图片

可以看到（颜色相同的是重复的）：

  • $f(3)$ 重复了 2 次

  • $f(2)$ 重复了 3 次

  • $f(1)$ 重复了 5 次

  • $f(0)$ 重复了 3 次

随着 $n$ 的增大，重复次数非常可观，如何优化呢？

Memoization 记忆法（也称备忘录）是一种优化技术，通过存储函数调用结果（通常比较昂贵），当再次出现相同的输入（子问题）时，就能实现加速效果，改进后的代码  

public static void main(String[] args) {
    int n = 13;
    int[] cache = new int[n + 1];
    Arrays.fill(cache, -1);
    cache[0] = 0;
    cache[1] = 1;
    System.out.println(f(cache, n));
}

public static int f(int[] cache, int n) {
    if (cache[n] != -1) {
        return cache[n];
    }

    cache[n] = f(cache, n - 1) + f(cache, n - 2);
    return cache[n];
}

优化后的图示，只要结果被缓存，就不会执行其子问题

基础数据结构_第8张图片

 

  • 改进后的时间复杂度为 $O(n)$

  • 请自行验证改进后的效果

  • 请自行分析改进后的空间复杂度

注意

  1. 记忆法是动态规划的一种情况，强调的是自顶向下的解决

  2. 记忆法的本质是空间换时间

递归优化-尾递归

爆栈

用递归做 $n + (n-1) + (n-2) ... + 1$

public static long sum(long n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + sum(n - 1);
}

 在我的机器上 $n = 12000$ 时，爆栈了

Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError
	at Test.sum(Test.java:10)
	at Test.sum(Test.java:10)
	at Test.sum(Test.java:10)
	at Test.sum(Test.java:10)
	at Test.sum(Test.java:10)
	...

为什么呢？

  • 每次方法调用是需要消耗一定的栈内存的，这些内存用来存储方法参数、方法内局部变量、返回地址等等

  • 方法调用占用的内存需要等到方法结束时才会释放

  • 而递归调用我们之前讲过，不到最深不会回头，最内层方法没完成之前，外层方法都结束不了

    • 例如，$sum(3)$ 这个方法内有个需要执行 $3 + sum(2)$，$sum(2)$ 没返回前，加号前面的 $3$ 不能释放

    • 看下面伪码

long sum(long n = 3) {
    return 3 + long sum(long n = 2) {
        return 2 + long sum(long n = 1) {
            return 1;
        }
    }
}

尾调用

如果函数的最后一步是调用一个函数，那么称为尾调用，例如

function a() {
    return b()
}

下面三段代码不能叫做尾调用

function a() {
    const c = b()
    return c
}

因为最后一步并非调用函数

function a() {
    return b() + 1
}

最后一步执行的是加法

function a(x) {
    return b() + x
}

最后一步执行的是加法

一些语言11的编译器能够对尾调用做优化，例如

function a() {
    // 做前面的事
    return b() 
}

function b() {
    // 做前面的事
    return c()
}

function c() {
    return 1000
}

a()

没优化之前的伪码

function a() {
    return function b() {
        return function c() {
            return 1000
        }
    }
}

优化后伪码如下

a()
b()
c()

为何尾递归才能优化？

调用 a 时

  • a 返回时发现：没什么可留给 b 的，将来返回的结果 b 提供就可以了，用不着我 a 了，我的内存就可以释放

调用 b 时

  • b 返回时发现：没什么可留给 c 的，将来返回的结果 c 提供就可以了，用不着我 b 了，我的内存就可以释放

如果调用 a 时

  • 不是尾调用，例如 return b() + 1，那么 a 就不能提前结束，因为它还得利用 b 的结果做加法

尾递归

尾递归是尾调用的一种特例，也就是最后一步执行的是同一个函数

尾递归避免爆栈

安装 Scala

基础数据结构_第9张图片

Scala 入门

object Main {
  def main(args: Array[String]): Unit = {
    println("Hello Scala")
  }
}

 

  • Scala 是 java 的近亲，java 中的类都可以拿来重用

  • 类型是放在变量后面的

  • Unit 表示无返回值，类似于 void

  • 不需要以分号作为结尾，当然加上也对

还是先写一个会爆栈的函数

def sum(n: Long): Long = {
    if (n == 1) {
        return 1
    }
    return n + sum(n - 1)
}

Scala 最后一行代码若作为返回值，可以省略 return

不出所料，在 $n = 11000$ 时，还是出了异常

println(sum(11000))

Exception in thread "main" java.lang.StackOverflowError
	at Main$.sum(Main.scala:25)
	at Main$.sum(Main.scala:25)
	at Main$.sum(Main.scala:25)
	at Main$.sum(Main.scala:25)
	...

这是因为以上代码，还不是尾调用，要想成为尾调用，那么：

  1. 最后一行代码，必须是一次函数调用

  2. 内层函数必须摆脱与外层函数的关系，内层函数执行后不依赖于外层的变量或常量

def sum(n: Long): Long = {
    if (n == 1) {
        return 1
    }
    return n + sum(n - 1)  // 依赖于外层函数的 n 变量
}

如何让它执行后就摆脱对 n 的依赖呢？

  • 不能等递归回来再做加法，那样就必须保留外层的 n

  • 把 n 当做内层函数的一个参数传进去，这时 n 就属于内层函数了

  • 传参时就完成累加, 不必等回来时累加

sum(n - 1, n + 累加器)

改写后代码如下

@tailrec
def sum(n: Long, accumulator: Long): Long = {
    if (n == 1) {
        return 1 + accumulator
    } 
    return sum(n - 1, n + accumulator)
}

  • accumulator 作为累加器

  • @tailrec 注解是 scala 提供的，用来检查方法是否符合尾递归

  • 这回 sum(10000000, 0) 也没有问题，打印 50000005000000

执行流程如下，以伪码表示 $sum(4, 0)$

// 首次调用
def sum(n = 4, accumulator = 0): Long = {
    return sum(4 - 1, 4 + accumulator)
}

// 接下来调用内层 sum, 传参时就完成了累加, 不必等回来时累加，当内层 sum 调用后，外层 sum 空间没必要保留
def sum(n = 3, accumulator = 4): Long = {
    return sum(3 - 1, 3 + accumulator)
}

// 继续调用内层 sum
def sum(n = 2, accumulator = 7): Long = {
    return sum(2 - 1, 2 + accumulator)
}

// 继续调用内层 sum, 这是最后的 sum 调用完就返回最后结果 10, 前面所有其它 sum 的空间早已释放
def sum(n = 1, accumulator = 9): Long = {
    if (1 == 1) {
        return 1 + accumulator
    }
}

本质上，尾递归优化是将函数的递归调用，变成了函数的循环调用

改循环避免爆栈

public static void main(String[] args) {
    long n = 100000000;
    long sum = 0;
    for (long i = n; i >= 1; i--) {
        sum += i;
    }
    System.out.println(sum);
}

递归时间复杂度-Master theorem14

若有递归式

基础数据结构_第10张图片

其中

  • $T(n)$ 是问题的运行时间，$n$ 是数据规模

  • $a$ 是子问题个数

  • $T(\frac{n}{b})$ 是子问题运行时间，每个子问题被拆成原问题数据规模的 $\frac{n}{b}$

  • $f(n)$ 是除递归外执行的计算

令 $x = \log{b}{a}$，即 $x = \log{子问题缩小倍数}{子问题个数}$

那么

基础数据结构_第11张图片

例1

$T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n^4$

  • 此时 $x = 1 < 4$，由后者决定整个时间复杂度 $\Theta(n^4)$

  • 如果觉得对数不好算，可以换为求【$b$ 的几次方能等于 $a$】

例2

$T(n) = T(\frac{7n}{10}) + n$

  • $a=1, b=\frac{10}{7}, x=0, c=1$

  • 此时 $x = 0 < 1$，由后者决定整个时间复杂度 $\Theta(n)$

例3

$T(n) = 16T(\frac{n}{4}) + n^2$

  • $a=16, b=4, x=2, c=2$

  • 此时 $x=2 = c$，时间复杂度 $\Theta(n^2 \log{n})$

例4

$T(n)=7T(\frac{n}{3}) + n^2$

  • $a=7, b=3, x=1.?, c=2$

  • 此时 $x = \log_{3}{7} < 2$，由后者决定整个时间复杂度 $\Theta(n^2)$

 

例5

$T(n) = 7T(\frac{n}{2}) + n^2$

  • $a=7, b=2, x=2.?, c=2$

  • 此时 $x = log_2{7} > 2$，由前者决定整个时间复杂度 $\Theta(n^{\log_2{7}})$

例6

$T(n) = 2T(\frac{n}{4}) + \sqrt{n}$

  • $a=2, b=4, x = 0.5, c=0.5$

  • 此时 $x = 0.5 = c$，时间复杂度 $\Theta(\sqrt{n}\ \log{n})$

例7. 二分查找递归

int f(int[] a, int target, int i, int j) {
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    int m = (i + j) >>> 1;
    if (target < a[m]) {
        return f(a, target, i, m - 1);
    } else if (a[m] < target) {
        return f(a, target, m + 1, j);
    } else {
        return m;
    }
}

 

  • 子问题个数 $a = 1$

  • 子问题数据规模缩小倍数 $b = 2$

  • 除递归外执行的计算是常数级 $c=0$

$T(n) = T(\frac{n}{2}) + n^0$

  • 此时 $x=0 = c$，时间复杂度 $\Theta(\log{n})$

例8. 归并排序递归

void split(B[], i, j, A[])
{
    if (j - i <= 1)                    
        return;                                
    m = (i + j) / 2;             
    
    // 递归
    split(A, i, m, B);  
    split(A, m, j, B); 
    
    // 合并
    merge(B, i, m, j, A);
}

  • 子问题个数 $a=2$

  • 子问题数据规模缩小倍数 $b=2$

  • 除递归外，主要时间花在合并上，它可以用 $f(n) = n$ 表示

$T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n$

  • 此时 $x=1=c$，时间复杂度 $\Theta(n\log{n})$

例9. 快速排序递归

algorithm quicksort(A, lo, hi) is 
  if lo >= hi || lo < 0 then 
    return
  
  // 分区
  p := partition(A, lo, hi) 
  
  // 递归
  quicksort(A, lo, p - 1) 
  quicksort(A, p + 1, hi)

  • 子问题个数 $a=2$

  • 子问题数据规模缩小倍数

    • 如果分区分的好，$b=2$

    • 如果分区没分好，例如分区1 的数据是 0，分区 2 的数据是 $n-1$

  • 除递归外，主要时间花在分区上，它可以用 $f(n) = n$ 表示

情况1 - 分区分的好

$T(n) = 2T(\frac{n}{2}) + n$

  • 此时 $x=1=c$，时间复杂度 $\Theta(n\log{n})$

情况2 - 分区没分好

$T(n) = T(n-1) + T(1) + n$

  • 此时不能用主定理求解

递归时间复杂度-展开求解

像下面的递归式，都不能用主定理求解

例1 - 递归求和

long sum(long n) {
    if (n == 1) {
        return 1;
    }
    return n + sum(n - 1);
}

$T(n) = T(n-1) + c$，$T(1) = c$

下面为展开过程

$T(n) = T(n-2) + c + c$

$T(n) = T(n-3) + c + c + c$

...

$T(n) = T(n-(n-1)) + (n-1)c$

  • 其中 $T(n-(n-1))$ 即 $T(1)$

  • 带入求得 $T(n) = c + (n-1)c = nc$

时间复杂度为 $O(n)$

例2 - 递归冒泡排序

void bubble(int[] a, int high) {
    if(0 == high) {
        return;
    }
    for (int i = 0; i < high; i++) {
        if (a[i] > a[i + 1]) {
            swap(a, i, i + 1);
        }
    }
    bubble(a, high - 1);
}

$T(n) = T(n-1) + n$，$T(1) = c$

下面为展开过程

$T(n) = T(n-2) + (n-1) + n$

$T(n) = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n$

...

$T(n) = T(1) + 2 + ... + n = T(1) + (n-1)\frac{2+n}{2} = c + \frac{n^2}{2} + \frac{n}{2} -1$

时间复杂度 $O(n^2)$

注：

  • 等差数列求和为 $个数*\frac{\vert首项-末项\vert}{2}$

例3 - 递归快排

快速排序分区没分好的极端情况

$T(n) = T(n-1) + T(1) + n$，$T(1) = c$

$T(n) = T(n-1) + c + n$

下面为展开过程

$T(n) = T(n-2) + c + (n-1) + c + n$

$T(n) = T(n-3) + c + (n-2) + c + (n-1) + c + n$

...

$T(n) = T(n-(n-1)) + (n-1)c + 2+...+n = \frac{n^2}{2} + \frac{2cn+n}{2} -1$

时间复杂度 $O(n^2)$

不会推导的同学可以进入 Wolfram|Alpha: Computational Intelligence

  • 例1 输入 f(n) = f(n - 1) + c, f(1) = c

  • 例2 输入 f(n) = f(n - 1) + n, f(1) = c

  • 例3 输入 f(n) = f(n - 1) + n + c, f(1) = c

4. 队列

概述

计算机科学中，queue 是以顺序的方式维护的一组数据集合，在一端添加数据，从另一端移除数据。习惯来说，添加的一端称为尾，移除的一端称为头，就如同生活中的排队买商品

先定义一个简化的队列接口

public interface Queue {

    /**
     * 向队列尾插入值
     * @param value 待插入值
     * @return 插入成功返回 true, 插入失败返回 false
     */
    boolean offer(E value);

    /**
     * 从对列头获取值, 并移除
     * @return 如果队列非空返回对头值, 否则返回 null
     */
    E poll();

    /**
     * 从对列头获取值, 不移除
     * @return 如果队列非空返回对头值, 否则返回 null
     */
    E peek();

    /**
     * 检查队列是否为空
     * @return 空返回 true, 否则返回 false
     */
    boolean isEmpty();

    /**
     * 检查队列是否已满
     * @return 满返回 true, 否则返回 false
     */
    boolean isFull();
}

链表实现

下面以单向环形带哨兵链表方式来实现队列

基础数据结构_第12张图片

 基础数据结构_第13张图片

基础数据结构_第14张图片 

 代码

public class LinkedListQueue
        implements Queue, Iterable {

    private static class Node {
        E value;
        Node next;

        public Node(E value, Node next) {
            this.value = value;
            this.next = next;
        }
    }

    private Node head = new Node<>(null, null);
    private Node tail = head;
    private int size = 0;
    private int capacity = Integer.MAX_VALUE;

    {
        tail.next = head;
    }

    public LinkedListQueue() {
    }

    public LinkedListQueue(int capacity) {
        this.capacity = capacity;
    }

    @Override
    public boolean offer(E value) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        Node added = new Node<>(value, head);
        tail.next = added;
        tail = added;
        size++;
        return true;
    }

    @Override
    public E poll() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        Node first = head.next;
        head.next = first.next;
        if (first == tail) {
            tail = head;
        }
        size--;
        return first.value;
    }

    @Override
    public E peek() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return head.next.value;
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return head == tail;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        return size == capacity;
    }

    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator() {
            Node p = head.next;
            @Override
            public boolean hasNext() {
                return p != head;
            }
            @Override
            public E next() {
                E value = p.value;
                p = p.next;
                return value;
            }
        };
    }
}

环形数组实现

好处

  1. 对比普通数组，起点和终点更为自由，不用考虑数据移动

  2. “环”意味着不会存在【越界】问题

  3. 数组性能更佳

  4. 环形数组比较适合实现有界队列、RingBuffer 等

基础数据结构_第15张图片

 

下标计算

例如，数组长度是 5，当前位置是 3 ，向前走 2 步，此时下标为 $(3 + 2)\%5 = 0$

基础数据结构_第16张图片

 

注意：

  • 如果 step = 1，也就是一次走一步，可以在 >= length 时重置为 0 即可

  • cur 当前指针位置

  • step 前进步数

  • length 数组长度

 判断空

基础数据结构_第17张图片

 

判断满

基础数据结构_第18张图片

 

满之后的策略可以根据业务需求决定

  • 例如我们要实现的环形队列，满之后就拒绝入队

代码

public class ArrayQueue implements Queue, Iterable{

    private int head = 0;
    private int tail = 0;
    private final E[] array;
    private final int length;

    @SuppressWarnings("all")
    public ArrayQueue(int capacity) {
        length = capacity + 1;
        array = (E[]) new Object[length];
    }

    @Override
    public boolean offer(E value) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        array[tail] = value;
        tail = (tail + 1) % length;
        return true;
    }

    @Override
    public E poll() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        E value = array[head];
        head = (head + 1) % length;
        return value;
    }

    @Override
    public E peek() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return array[head];
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return tail == head;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        return (tail + 1) % length == head;
    }

    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator() {
            int p = head;
            @Override
            public boolean hasNext() {
                return p != tail;
            }

            @Override
            public E next() {
                E value = array[p];
                p = (p + 1) % array.length;
                return value;
            }
        };
    }
}

判断空、满方法2

引入 size

public class ArrayQueue2 implements Queue, Iterable {

    private int head = 0;
    private int tail = 0;
    private final E[] array;
    private final int capacity;
    private int size = 0;

    @SuppressWarnings("all")
    public ArrayQueue2(int capacity) {
        this.capacity = capacity;
        array = (E[]) new Object[capacity];
    }

    @Override
    public boolean offer(E value) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        array[tail] = value;
        tail = (tail + 1) % capacity;
        size++;
        return true;
    }

    @Override
    public E poll() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        E value = array[head];
        head = (head + 1) % capacity;
        size--;
        return value;
    }

    @Override
    public E peek() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return array[head];
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        return size == capacity;
    }

    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator() {
            int p = head;

            @Override
            public boolean hasNext() {
                return p != tail;
            }

            @Override
            public E next() {
                E value = array[p];
                p = (p + 1) % capacity;
                return value;
            }
        };
    }
}

判断空、满方法3

  • head 和 tail 不断递增，用到索引时，再用它们进行计算，两个问题

    • 如何保证 head 和 tail 自增超过正整数最大值的正确性

    • 如何让取模运算性能更高

  • 答案：让 capacity 为 2 的幂

public class ArrayQueue3 implements Queue, Iterable {

    private int head = 0;
    private int tail = 0;
    private final E[] array;
    private final int capacity;

    @SuppressWarnings("all")
    public ArrayQueue3(int capacity) {
        if ((capacity & capacity - 1) != 0) {
            throw new IllegalArgumentException("capacity 必须为 2 的幂");
        }
        this.capacity = capacity;
        array = (E[]) new Object[this.capacity];
    }

    @Override
    public boolean offer(E value) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        array[tail & capacity - 1] = value;
        tail++;
        return true;
    }

    @Override
    public E poll() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        E value = array[head & capacity - 1];
        head++;
        return value;
    }

    @Override
    public E peek() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return array[head & capacity - 1];
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return tail - head == 0;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        return tail - head == capacity;
    }

    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator() {
            int p = head;

            @Override
            public boolean hasNext() {
                return p != tail;
            }

            @Override
            public E next() {
                E value = array[p & capacity - 1];
                p++;
                return value;
            }
        };
    }
}

5. 栈

概述

计算机科学中，stack 是一种线性的数据结构，只能在其一端添加数据和移除数据。习惯来说，这一端称之为栈顶，另一端不能操作数据的称之为栈底，就如同生活中的一摞书

先提供一个栈接口

public interface Stack {
    /**
     * 向栈顶压入元素
     * @param value 待压入值
     * @return 压入成功返回 true, 否则返回 false
     */
    boolean push(E value);

    /**
     * 从栈顶弹出元素
     * @return 栈非空返回栈顶元素, 栈为空返回 null
     */
    E pop();

    /**
     * 返回栈顶元素, 不弹出
     * @return 栈非空返回栈顶元素, 栈为空返回 null
     */
    E peek();

    /**
     * 判断栈是否为空
     * @return 空返回 true, 否则返回 false
     */
    boolean isEmpty();

    /**
     * 判断栈是否已满
     * @return 满返回 true, 否则返回 false
     */
    boolean isFull();
}

链表实现

public class LinkedListStack implements Stack, Iterable {

    private final int capacity;
    private int size;
    private final Node head = new Node<>(null, null);

    public LinkedListStack(int capacity) {
        this.capacity = capacity;
    }

    @Override
    public boolean push(E value) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        head.next = new Node<>(value, head.next);
        size++;
        return true;
    }

    @Override
    public E pop() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        Node first = head.next;
        head.next = first.next;
        size--;
        return first.value;
    }

    @Override
    public E peek() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return head.next.value;
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return head.next == null;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        return size == capacity;
    }

    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator() {
            Node p = head.next;
            @Override
            public boolean hasNext() {
                return p != null;
            }

            @Override
            public E next() {
                E value = p.value;
                p = p.next;
                return value;
            }
        };
    }

    static class Node {
        E value;
        Node next;

        public Node(E value, Node next) {
            this.value = value;
            this.next = next;
        }
    }
}

        

数组实现

public class ArrayStack implements Stack, Iterable{
    private final E[] array;
    private int top = 0;

    @SuppressWarnings("all")
    public ArrayStack(int capacity) {
        this.array = (E[]) new Object[capacity];
    }

    @Override
    public boolean push(E value) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        array[top++] = value;
        return true;
    }

    @Override
    public E pop() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return array[--top];
    }

    @Override
    public E peek() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return array[top-1];
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return top == 0;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        return top == array.length;
    }

    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator() {
            int p = top;
            @Override
            public boolean hasNext() {
                return p > 0;
            }

            @Override
            public E next() {
                return array[--p];
            }
        };
    }
}

应用

模拟如下方法调用

public static void main(String[] args) {
    System.out.println("main1");
    System.out.println("main2");
    method1();
    method2();
    System.out.println("main3");
}

public static void method1() {
    System.out.println("method1");
    method3();
}

public static void method2() {
    System.out.println("method2");
}

public static void method3() {
    System.out.println("method3");
}

模拟代码

public class CPU {
    static class Frame {
        int exit;

        public Frame(int exit) {
            this.exit = exit;
        }
    }
    static int pc = 1; // 模拟程序计数器 Program counter
    static ArrayStack stack = new ArrayStack<>(100); // 模拟方法调用栈

    public static void main(String[] args) {
        stack.push(new Frame(-1));
        while (!stack.isEmpty()) {
            switch (pc) {
                case 1 -> {
                    System.out.println("main1");
                    pc++;
                }
                case 2 -> {
                    System.out.println("main2");
                    pc++;
                }
                case 3 -> {
                    stack.push(new Frame(pc + 1));
                    pc = 100;
                }
                case 4 -> {
                    stack.push(new Frame(pc + 1));
                    pc = 200;
                }
                case 5 -> {
                    System.out.println("main3");
                    pc = stack.pop().exit;
                }
                case 100 -> {
                    System.out.println("method1");
                    stack.push(new Frame(pc + 1));
                    pc = 300;
                }
                case 101 -> {
                    pc = stack.pop().exit;
                }
                case 200 -> {
                    System.out.println("method2");
                    pc = stack.pop().exit;
                }
                case 300 -> {
                    System.out.println("method3");
                    pc = stack.pop().exit;
                }
            }
        }
    }
}

6. 双端队列

概述

双端队列、队列、栈对比

定义 特点
队列 一端删除（头）另一端添加（尾） First In First Out
栈 一端删除和添加（顶） Last In First Out
双端队列 两端都可以删除、添加
优先级队列 优先级高者先出队
延时队列 根据延时时间确定优先级
并发非阻塞队列 队列空或满时不阻塞
并发阻塞队列 队列空时删除阻塞、队列满时添加阻塞

接口定义

public interface Deque {

    boolean offerFirst(E e);

    boolean offerLast(E e);

    E pollFirst();

    E pollLast();

    E peekFirst();

    E peekLast();
    
    boolean isEmpty();

    boolean isFull();
}

 

链表实现

/**
 * 基于环形链表的双端队列
 * @param  元素类型
 */
public class LinkedListDeque implements Deque, Iterable {

    @Override
    public boolean offerFirst(E e) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        size++;
        Node a = sentinel;
        Node b = sentinel.next;
        Node offered = new Node<>(a, e, b);
        a.next = offered;
        b.prev = offered;
        return true;
    }

    @Override
    public boolean offerLast(E e) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        size++;
        Node a = sentinel.prev;
        Node b = sentinel;
        Node offered = new Node<>(a, e, b);
        a.next = offered;
        b.prev = offered;
        return true;
    }

    @Override
    public E pollFirst() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        Node a = sentinel;
        Node polled = sentinel.next;
        Node b = polled.next;
        a.next = b;
        b.prev = a;
        size--;
        return polled.value;
    }

    @Override
    public E pollLast() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        Node polled = sentinel.prev;
        Node a = polled.prev;
        Node b = sentinel;
        a.next = b;
        b.prev = a;
        size--;
        return polled.value;
    }

    @Override
    public E peekFirst() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return sentinel.next.value;
    }

    @Override
    public E peekLast() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return sentinel.prev.value;
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        return size == capacity;
    }

    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator() {
            Node p = sentinel.next;
            @Override
            public boolean hasNext() {
                return p != sentinel;
            }

            @Override
            public E next() {
                E value = p.value;
                p = p.next;
                return value;
            }
        };
    }

    static class Node {
        Node prev;
        E value;
        Node next;

        public Node(Node prev, E value, Node next) {
            this.prev = prev;
            this.value = value;
            this.next = next;
        }
    }

    Node sentinel = new Node<>(null, null, null);
    int capacity;
    int size;

    public LinkedListDeque(int capacity) {
        sentinel.next = sentinel;
        sentinel.prev = sentinel;
        this.capacity = capacity;
    }
}

数组实现

/**
 * 基于循环数组实现, 特点
 * 
    
 *     
  • tail 停下来的位置不存储, 会浪费一个位置
    • 
 * 

 * @param 
 */
public class ArrayDeque1 implements Deque, Iterable {

    /*
                    h
            t
        0   1   2   3
        b           a
     */
    @Override
    public boolean offerFirst(E e) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        head = dec(head, array.length);
        array[head] = e;
        return true;
    }

    @Override
    public boolean offerLast(E e) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        array[tail] = e;
        tail = inc(tail, array.length);
        return true;
    }

    @Override
    public E pollFirst() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        E e = array[head];
        array[head] = null;
        head = inc(head, array.length);
        return e;
    }

    @Override
    public E pollLast() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        tail = dec(tail, array.length);
        E e = array[tail];
        array[tail] = null;
        return e;
    }

    @Override
    public E peekFirst() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return array[head];
    }

    @Override
    public E peekLast() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return array[dec(tail, array.length)];
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return head == tail;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        if (tail > head) {
            return tail - head == array.length - 1;
        } else if (tail < head) {
            return head - tail == 1;
        } else {
            return false;
        }
    }

    @Override
    public Iterator iterator() {
        return new Iterator() {
            int p = head;
            @Override
            public boolean hasNext() {
                return p != tail;
            }

            @Override
            public E next() {
                E e = array[p];
                p = inc(p, array.length);
                return e;
            }
        };
    }

    E[] array;
    int head;
    int tail;

    @SuppressWarnings("unchecked")
    public ArrayDeque1(int capacity) {
        array = (E[]) new Object[capacity + 1];
    }

    static int inc(int i, int length) {
        if (i + 1 >= length) {
            return 0;
        }
        return i + 1;
    }

    static int dec(int i, int length) {
        if (i - 1 < 0) {
            return length - 1;
        }
        return i - 1;
    }
}

数组实现中，如果存储的是基本类型，那么无需考虑内存释放，例如

基础数据结构_第19张图片

 但如果存储的是引用类型，应当设置该位置的引用为 null，以便内存及时释放

基础数据结构_第20张图片

 

7. 优先级队列

无序数组实现

要点

  1. 入队保持顺序

  2. 出队前找到优先级最高的出队，相当于一次选择排序

public class PriorityQueue1 implements Queue {

    Priority[] array;
    int size;

    public PriorityQueue1(int capacity) {
        array = new Priority[capacity];
    }

    @Override // O(1)
    public boolean offer(E e) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        array[size++] = e;
        return true;
    }

    // 返回优先级最高的索引值
    private int selectMax() {
        int max = 0;
        for (int i = 1; i < size; i++) {
            if (array[i].priority() > array[max].priority()) {
                max = i;
            }
        }
        return max;
    }

    @Override // O(n)
    public E poll() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        int max = selectMax();
        E e = (E) array[max];
        remove(max);
        return e;
    }

    private void remove(int index) {
        if (index < size - 1) {
            System.arraycopy(array, index + 1,
                    array, index, size - 1 - index);
        }
        array[--size] = null; // help GC
    }

    @Override
    public E peek() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        int max = selectMax();
        return (E) array[max];
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        return size == array.length;
    }
}

有序数组实现

要点

  1. 入队后排好序，优先级最高的排列在尾部

  2. 出队只需删除尾部元素即可

public class PriorityQueue2 implements Queue {

    Priority[] array;
    int size;

    public PriorityQueue2(int capacity) {
        array = new Priority[capacity];
    }

    // O(n)
    @Override
    public boolean offer(E e) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        insert(e);
        size++;
        return true;
    }

    // 一轮插入排序
    private void insert(E e) {
        int i = size - 1;
        while (i >= 0 && array[i].priority() > e.priority()) {
            array[i + 1] = array[i];
            i--;
        }
        array[i + 1] = e;
    }

    // O(1)
    @Override
    public E poll() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        E e = (E) array[size - 1];
        array[--size] = null; // help GC
        return e;
    }

    @Override
    public E peek() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return (E) array[size - 1];
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        return size == array.length;
    }
}

堆实现

计算机科学中，堆是一种基于树的数据结构，通常用完全二叉树实现。堆的特性如下

  • 在大顶堆中，任意节点 C 与它的父节点 P 符合 $P.value \geq C.value$

  • 而小顶堆中，任意节点 C 与它的父节点 P 符合 $P.value \leq C.value$

  • 最顶层的节点（没有父亲）称之为 root 根节点

例1 - 满二叉树（Full Binary Tree）特点：每一层都是填满的

基础数据结构_第21张图片

例2 - 完全二叉树（Complete Binary Tree）特点：最后一层可能未填满，靠左对齐

基础数据结构_第22张图片 

例3 - 大顶堆

基础数据结构_第23张图片 

 

例4 - 小顶堆

基础数据结构_第24张图片

 

完全二叉树可以使用数组来表示

基础数据结构_第25张图片

 

特征

  • 如果从索引 0 开始存储节点数据

    • 节点 $i$ 的父节点为 $floor((i-1)/2)$，当 $i>0$ 时

    • 节点 $i$ 的左子节点为 $2i+1$，右子节点为 $2i+2$，当然它们得 $< size$

  • 如果从索引 1 开始存储节点数据

    • 节点 $i$ 的父节点为 $floor(i/2)$，当 $i > 1$ 时

    • 节点 $i$ 的左子节点为 $2i$，右子节点为 $2i+1$，同样得 $< size$

代码

public class PriorityQueue4 implements Queue {

    Priority[] array;
    int size;

    public PriorityQueue4(int capacity) {
        array = new Priority[capacity];
    }

    @Override
    public boolean offer(E offered) {
        if (isFull()) {
            return false;
        }
        int child = size++;
        int parent = (child - 1) / 2;
        while (child > 0 && offered.priority() > array[parent].priority()) {
            array[child] = array[parent];
            child = parent;
            parent = (child - 1) / 2;
        }
        array[child] = offered;
        return true;
    }


    private void swap(int i, int j) {
        Priority t = array[i];
        array[i] = array[j];
        array[j] = t;
    }

    @Override
    public E poll() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        swap(0, size - 1);
        size--;
        Priority e = array[size];
        array[size] = null;
        
        shiftDown(0);        
        return (E) e;
    }

    void shiftDown(int parent) {
        int left = 2 * parent + 1;
        int right = left + 1;
        int max = parent;
        if (left < size && array[left].priority() > array[max].priority()) {
            max = left;
        }
        if (right < size && array[right].priority() > array[max].priority()) {
            max = right;
        }
        if (max != parent) {
            swap(max, parent);
            shiftDown(max);
        }
    }

    @Override
    public E peek() {
        if (isEmpty()) {
            return null;
        }
        return (E) array[0];
    }

    @Override
    public boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

    @Override
    public boolean isFull() {
        return size == array.length;
    }
}

8. 阻塞队列

之前的队列在很多场景下都不能很好地工作，例如

  1. 大部分场景要求分离向队列放入（生产者）、从队列拿出（消费者）两个角色、它们得由不同的线程来担当，而之前的实现根本没有考虑线程安全问题

  2. 队列为空，那么在之前的实现里会返回 null，如果就是硬要拿到一个元素呢？只能不断循环尝试

  3. 队列为满，那么再之前的实现里会返回 false，如果就是硬要塞入一个元素呢？只能不断循环尝试

因此我们需要解决的问题有

  1. 用锁保证线程安全

  2. 用条件变量让等待非空线程与等待不满线程进入等待状态，而不是不断循环尝试，让 CPU 空转

有基友对线程安全还没有足够的认识，下面举一个反例，两个线程都要执行入队操作（几乎在同一时刻）

public class TestThreadUnsafe {
    private final String[] array = new String[10];
    private int tail = 0;

    public void offer(String e) {
        array[tail] = e;
        tail++;
    }

    @Override
    public String toString() {
        return Arrays.toString(array);
    }

    public static void main(String[] args) {
        TestThreadUnsafe queue = new TestThreadUnsafe();
        new Thread(()-> queue.offer("e1"), "t1").start();
        new Thread(()-> queue.offer("e2"), "t2").start();
    }
}

执行的时间序列如下，假设初始状态 tail = 0，在执行过程中由于 CPU 在两个线程之间切换，造成了指令交错

线程1 线程2 说明
array[tail]=e1 线程1 向 tail 位置加入 e1 这个元素，但还没来得及执行 tail++
array[tail]=e2 线程2 向 tail 位置加入 e2 这个元素，覆盖掉了 e1
tail++ tail 自增为1
tail++ tail 自增为2
最后状态 tail 为 2，数组为 [e2, null, null ...]

糟糕的是，由于指令交错的顺序不同，得到的结果不止以上一种，宏观上造成混乱的效果

单锁实现

Java 中要防止代码段交错执行，需要使用锁，有两种选择

  • synchronized 代码块，属于关键字级别提供锁保护，功能少

  • ReentrantLock 类，功能丰富

以 ReentrantLock 为例

ReentrantLock lock = new ReentrantLock();

public void offer(String e) {
    lock.lockInterruptibly();
    try {
        array[tail] = e;
        tail++;
    } finally {
        lock.unlock();
    }
}

 

只要两个线程执行上段代码时，锁对象是同一个，就能保证 try 块内的代码的执行不会出现指令交错现象，即执行顺序只可能是下面两种情况之一

线程1 线程2 说明
lock.lockInterruptibly() t1对锁对象上锁
array[tail]=e1
lock.lockInterruptibly() 即使 CPU 切换到线程2，但由于t1已经对该对象上锁，因此线程2卡在这儿进不去
tail++ 切换回线程1 执行后续代码
lock.unlock() 线程1 解锁
array[tail]=e2 线程2 此时才能获得锁，执行它的代码
tail++

  • 另一种情况是线程2 先获得锁，线程1 被挡在外面

  • 要明白保护的本质，本例中是保护的是 tail 位置读写的安全

事情还没有完，上面的例子是队列还没有放满的情况，考虑下面的代码（这回锁同时保护了 tail 和 size 的读写安全）

ReentrantLock lock = new ReentrantLock();
int size = 0;

public void offer(String e) {
    lock.lockInterruptibly();
    try {
        if(isFull()) {
            // 满了怎么办?
        }
        array[tail] = e;
        tail++;
        
        size++;
    } finally {
        lock.unlock();
    }
}

private boolean isFull() {
    return size == array.length;
}

之前是返回 false 表示添加失败，前面分析过想达到这么一种效果：

  • 在队列满时，不是立刻返回，而是当前线程进入等待

  • 什么时候队列不满了，再唤醒这个等待的线程，从上次的代码处继续向下运行

ReentrantLock 可以配合条件变量来实现，代码进化为

ReentrantLock lock = new ReentrantLock();
Condition tailWaits = lock.newCondition(); // 条件变量
int size = 0;

public void offer(String e) {
    lock.lockInterruptibly();
    try {
        while (isFull()) {
            tailWaits.await();	// 当队列满时, 当前线程进入 tailWaits 等待
        }
        array[tail] = e;
        tail++;
        
        size++;
    } finally {
        lock.unlock();
    }
}

private boolean isFull() {
    return size == array.length;
}

  • 条件变量底层也是个队列，用来存储这些需要等待的线程，当队列满了，就会将 offer 线程加入条件队列，并暂时释放锁

  • 将来我们的队列如果不满了（由 poll 线程那边得知）可以调用 tailWaits.signal() 来唤醒 tailWaits 中首个等待的线程，被唤醒的线程会再次抢到锁，从上次 await 处继续向下运行

思考为何要用 while 而不是 if，设队列容量是 3

操作前 offer(4) offer(5) poll() 操作后
[1 2 3] 队列满，进入tailWaits 等待 [1 2 3]
[1 2 3] 取走 1，队列不满，唤醒线程 [2 3]
[2 3] 抢先获得锁，发现不满，放入 5 [2 3 5]
[2 3 5] 从上次等待处直接向下执行
[2 3 5 ?]

关键点：

  • 从 tailWaits 中唤醒的线程，会与新来的 offer 的线程争抢锁，谁能抢到是不一定的，如果后者先抢到，就会导致条件又发生变化

  • 这种情况称之为虚假唤醒，唤醒后应该重新检查条件，看是不是得重新进入等待

最后的实现代码

/**
 * 单锁实现
 * @param  元素类型
 */
public class BlockingQueue1 implements BlockingQueue {
    private final E[] array;
    private int head = 0;
    private int tail = 0;
    private int size = 0; // 元素个数

    @SuppressWarnings("all")
    public BlockingQueue1(int capacity) {
        array = (E[]) new Object[capacity];
    }

    ReentrantLock lock = new ReentrantLock();
    Condition tailWaits = lock.newCondition();
    Condition headWaits = lock.newCondition();

    @Override
    public void offer(E e) throws InterruptedException {
        lock.lockInterruptibly();
        try {
            while (isFull()) {
                tailWaits.await();
            }
            array[tail] = e;
            if (++tail == array.length) {
                tail = 0;
            }
            size++;
            headWaits.signal();
        } finally {
            lock.unlock();
        }
    }

    @Override
    public void offer(E e, long timeout) throws InterruptedException {
        lock.lockInterruptibly();
        try {
            long t = TimeUnit.MILLISECONDS.toNanos(timeout);
            while (isFull()) {
                if (t <= 0) {
                    return;
                }
                t = tailWaits.awaitNanos(t);
            }
            array[tail] = e;
            if (++tail == array.length) {
                tail = 0;
            }
            size++;
            headWaits.signal();
        } finally {
            lock.unlock();
        }
    }

    @Override
    public E poll() throws InterruptedException {
        lock.lockInterruptibly();
        try {
            while (isEmpty()) {
                headWaits.await();
            }
            E e = array[head];
            array[head] = null; // help GC
            if (++head == array.length) {
                head = 0;
            }
            size--;
            tailWaits.signal();
            return e;
        } finally {
            lock.unlock();
        }
    }

    private boolean isEmpty() {
        return size == 0;
    }

    private boolean isFull() {
        return size == array.length;
    }
}

  • public void offer(E e, long timeout) throws InterruptedException 是带超时的版本，可以只等待一段时间，而不是永久等下去，类似的 poll 也可以做带超时的版本，这个留给大家了

注意

  • JDK 中 BlockingQueue 接口的方法命名与我的示例有些差异

    • 方法 offer(E e) 是非阻塞的实现，阻塞实现方法为 put(E e)

    • 方法 poll() 是非阻塞的实现，阻塞实现方法为 take()

双锁实现

单锁的缺点在于：

  • 生产和消费几乎是不冲突的，唯一冲突的是生产者和消费者它们有可能同时修改 size

  • 冲突的主要是生产者之间：多个 offer 线程修改 tail

  • 冲突的还有消费者之间：多个 poll 线程修改 head

如果希望进一步提高性能，可以用两把锁

  • 一把锁保护 tail

  • 另一把锁保护 head

ReentrantLock headLock = new ReentrantLock();  // 保护 head 的锁
Condition headWaits = headLock.newCondition(); // 队列空时，需要等待的线程集合

ReentrantLock tailLock = new ReentrantLock();  // 保护 tail 的锁
Condition tailWaits = tailLock.newCondition(); // 队列满时，需要等待的线程集合

先看看 offer 方法的初步实现

上面代码的缺点是 size 并不受 tailLock 保护，tailLock 与 headLock 是两把不同的锁，并不能实现互斥的效果。因此，size 需要用下面的代码保证原子性

AtomicInteger size = new AtomicInteger(0);	   // 保护 size 的原子变量

size.getAndIncrement(); // 自增
size.getAndDecrement(); // 自减

代码修改为

@Override
public void offer(E e) throws InterruptedException {
    tailLock.lockInterruptibly();
    try {
        // 队列满等待
        while (isFull()) {
            tailWaits.await();
        }
        
        // 不满则入队
        array[tail] = e;
        if (++tail == array.length) {
            tail = 0;
        }
        
        // 修改 size
        size.getAndIncrement();
        
    } finally {
        tailLock.unlock();
    }
}

对称地，可以写出 poll 方法

@Override
public E poll() throws InterruptedException {
    E e;
    headLock.lockInterruptibly();
    try {
        // 队列空等待
        while (isEmpty()) {
            headWaits.await();
        }
        
        // 不空则出队
        e = array[head];
        if (++head == array.length) {
            head = 0;
        }
        
        // 修改 size
        size.getAndDecrement();
        
    } finally {
        headLock.unlock();
    }
    return e;
}

下面来看一个难题，就是如何通知 headWaits 和 tailWaits 中等待的线程，比如 poll 方法拿走一个元素，通知 tailWaits：我拿走一个，不满了噢，你们可以放了，因此代码改为

@Override
public E poll() throws InterruptedException {
    E e;
    headLock.lockInterruptibly();
    try {
        // 队列空等待
        while (isEmpty()) {
            headWaits.await();
        }
        
        // 不空则出队
        e = array[head];
        if (++head == array.length) {
            head = 0;
        }
        
        // 修改 size
        size.getAndDecrement();
        
        // 通知 tailWaits 不满（有问题）
        tailWaits.signal();
        
    } finally {
        headLock.unlock();
    }
    return e;
}

问题在于要使用这些条件变量的 await()， signal() 等方法需要先获得与之关联的锁，上面的代码若直接运行会出现以下错误

java.lang.IllegalMonitorStateException

那有基友说，加上锁不就行了吗，于是写出了下面的代码

基础数据结构_第26张图片

基础数据结构_第27张图片 

两把锁这么嵌套使用，非常容易出现死锁，如下所示

基础数据结构_第28张图片 

基础数据结构_第29张图片 

 因此得避免嵌套，两段加锁的代码变成了下面平级的样子 基础数据结构_第30张图片

基础数据结构_第31张图片 

性能还可以进一步提升

  1. 代码调整后 offer 并没有同时获取 tailLock 和 headLock 两把锁，因此两次加锁之间会有空隙，这个空隙内可能有其它的 offer 线程添加了更多的元素，那么这些线程都要执行 signal()，通知 poll 线程队列非空吗？

    • 每次调用 signal() 都需要这些 offer 线程先获得 headLock 锁，成本较高，要想法减少 offer 线程获得 headLock 锁的次数

    • 可以加一个条件：当 offer 增加前队列为空，即从 0 变化到不空，才由此 offer 线程来通知 headWaits，其它情况不归它管

  2. 队列从 0 变化到不空，会唤醒一个等待的 poll 线程，这个线程被唤醒后，肯定能拿到 headLock 锁，因此它具备了唤醒 headWaits 上其它 poll 线程的先决条件。如果检查出此时有其它 offer 线程新增了元素（不空，但不是从0变化而来），那么不妨由此 poll 线程来唤醒其它 poll 线程

这个技巧被称之为级联通知（cascading notifies），类似的原因

  1. 在 poll 时队列从满变化到不满，才由此 poll 线程来唤醒一个等待的 offer 线程，目的也是为了减少 poll 线程对 tailLock 上锁次数，剩下等待的 offer 线程由这个 offer 线程间接唤醒

最终的代码为

public class BlockingQueue2 implements BlockingQueue {

    private final E[] array;
    private int head = 0;
    private int tail = 0;
    private final AtomicInteger size = new AtomicInteger(0);
    ReentrantLock headLock = new ReentrantLock();
    Condition headWaits = headLock.newCondition();
    ReentrantLock tailLock = new ReentrantLock();
    Condition tailWaits = tailLock.newCondition();

    public BlockingQueue2(int capacity) {
        this.array = (E[]) new Object[capacity];
    }

    @Override
    public void offer(E e) throws InterruptedException {
        int c;
        tailLock.lockInterruptibly();
        try {
            while (isFull()) {
                tailWaits.await();
            }
            array[tail] = e;
            if (++tail == array.length) {
                tail = 0;
            }            
            c = size.getAndIncrement();
            // a. 队列不满, 但不是从满->不满, 由此offer线程唤醒其它offer线程
            if (c + 1 < array.length) {
                tailWaits.signal();
            }
        } finally {
            tailLock.unlock();
        }
        // b. 从0->不空, 由此offer线程唤醒等待的poll线程
        if (c == 0) {
            headLock.lock();
            try {
                headWaits.signal();
            } finally {
                headLock.unlock();
            }
        }
    }

    @Override
    public E poll() throws InterruptedException {
        E e;
        int c;
        headLock.lockInterruptibly();
        try {
            while (isEmpty()) {
                headWaits.await(); 
            }
            e = array[head]; 
            if (++head == array.length) {
                head = 0;
            }
            c = size.getAndDecrement();
            // b. 队列不空, 但不是从0变化到不空，由此poll线程通知其它poll线程
            if (c > 1) {
                headWaits.signal();
            }
        } finally {
            headLock.unlock();
        }
        // a. 从满->不满, 由此poll线程唤醒等待的offer线程
        if (c == array.length) {
            tailLock.lock();
            try {
                tailWaits.signal();
            } finally {
                tailLock.unlock();
            }
        }
        return e;
    }

    private boolean isEmpty() {
        return size.get() == 0;
    }

    private boolean isFull() {
        return size.get() == array.length;
    }

}

 双锁实现的非常精巧，据说作者 Doug Lea 花了一年的时间才完善了此段代码

9. 堆

以大顶堆为例，相对于之前的优先级队列，增加了堆化等方法

public class MaxHeap {
    int[] array;
    int size;

    public MaxHeap(int capacity) {
        this.array = new int[capacity];
    }

    /**
     * 获取堆顶元素
     *
     * @return 堆顶元素
     */
    public int peek() {
        return array[0];
    }

    /**
     * 删除堆顶元素
     *
     * @return 堆顶元素
     */
    public int poll() {
        int top = array[0];
        swap(0, size - 1);
        size--;
        down(0);
        return top;
    }

    /**
     * 删除指定索引处元素
     *
     * @param index 索引
     * @return 被删除元素
     */
    public int poll(int index) {
        int deleted = array[index];
        swap(index, size - 1);
        size--;
        down(index);
        return deleted;
    }

    /**
     * 替换堆顶元素
     * @param replaced 新元素
     */
    public void replace(int replaced) {
        array[0] = replaced;
        down(0);
    }

    /**
     * 堆的尾部添加元素
     *
     * @param offered 新元素
     * @return 是否添加成功
     */
    public boolean offer(int offered) {
        if (size == array.length) {
            return false;
        }
        up(offered);
        size++;
        return true;
    }

    // 将 offered 元素上浮: 直至 offered 小于父元素或到堆顶
    private void up(int offered) {
        int child = size;
        while (child > 0) {
            int parent = (child - 1) / 2;
            if (offered > array[parent]) {
                array[child] = array[parent];
            } else {
                break;
            }
            child = parent;
        }
        array[child] = offered;
    }

    public MaxHeap(int[] array) {
        this.array = array;
        this.size = array.length;
        heapify();
    }

    // 建堆
    private void heapify() {
        // 如何找到最后这个非叶子节点  size / 2 - 1
        for (int i = size / 2 - 1; i >= 0; i--) {
            down(i);
        }
    }

    // 将 parent 索引处的元素下潜: 与两个孩子较大者交换, 直至没孩子或孩子没它大
    private void down(int parent) {
        int left = parent * 2 + 1;
        int right = left + 1;
        int max = parent;
        if (left < size && array[left] > array[max]) {
            max = left;
        }
        if (right < size && array[right] > array[max]) {
            max = right;
        }
        if (max != parent) { // 找到了更大的孩子
            swap(max, parent);
            down(max);
        }
    }

    // 交换两个索引处的元素
    private void swap(int i, int j) {
        int t = array[i];
        array[i] = array[j];
        array[j] = t;
    }

    public static void main(String[] args) {

        int[] array = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
        MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(array);
        System.out.println(Arrays.toString(maxHeap.array));
    }
}

建堆

Floyd 建堆算法作者（也是之前龟兔赛跑判环作者）：

基础数据结构_第32张图片

  1. 找到最后一个非叶子节点

  2. 从后向前，对每个节点执行下潜

一些规律

  • 一棵满二叉树节点个数为 $2^h-1$，如下例中高度 $h=3$ 节点数是 $2^3-1=7$

  • 非叶子节点范围为 $[0, size/2-1]$

算法时间复杂度分析

基础数据结构_第33张图片 

 下面看交换次数的推导：设节点高度为 3

本层节点数 高度 下潜最多交换次数（高度-1）
4567 这层 4 1 0
23这层 2 2 1
1这层 1 3 2

每一层的交换次数为：$节点个数*此节点交换次数$，总的交换次数为

基础数据结构_第34张图片

 即

基础数据结构_第35张图片

在 Wolfram|Alpha: Computational Intelligence 输入

Sum[\(40)Divide[Power[2,x],Power[2,i]]*\(40)i-1\(41)\(41),{i,1,x}]

推导出

        

 其中 $2^h \approx n$，$h \approx \log_2{n}$，因此有时间复杂度 $O(n)$

10. 二叉树

二叉树是这么一种树状结构：每个节点最多有两个孩子，左孩子和右孩子

重要的二叉树结构

  • 完全二叉树（complete binary tree）是一种二叉树结构，除最后一层以外，每一层都必须填满，填充时要遵从先左后右

  • 平衡二叉树（balance binary tree）是一种二叉树结构，其中每个节点的左右子树高度相差不超过 1


存储

存储方式分为两种

  1. 定义树节点与左、右孩子引用（TreeNode）

  2. 使用数组，前面讲堆时用过，若以 0 作为树的根，索引可以通过如下方式计算

    • 父 = floor((子 - 1) / 2)

    • 左孩子 = 父 * 2 + 1

    • 右孩子 = 父 * 2 + 2

遍历

遍历也分为两种

  1. 广度优先遍历（Breadth-first order）：尽可能先访问距离根最近的节点，也称为层序遍历

  2. 深度优先遍历（Depth-first order）：对于二叉树，可以进一步分成三种（要深入到叶子节点）

    1. pre-order 前序遍历，对于每一棵子树，先访问该节点，然后是左子树，最后是右子树

    2. in-order 中序遍历，对于每一棵子树，先访问左子树，然后是该节点，最后是右子树

    3. post-order 后序遍历，对于每一棵子树，先访问左子树，然后是右子树，最后是该节点

广度优先

基础数据结构_第36张图片

 

  1. 初始化，将根节点加入队列

  2. 循环处理队列中每个节点，直至队列为空

  3. 每次循环内处理节点后，将它的孩子节点（即下一层的节点）加入队列

注意

  • 以上用队列来层序遍历是针对 TreeNode 这种方式表示的二叉树

  • 对于数组表现的二叉树，则直接遍历数组即可，自然为层序遍历的顺序

深度优先

基础数据结构_第37张图片

 

递归实现

/**
 * 
前序遍历

 * @param node 节点
 */
static void preOrder(TreeNode node) {
    if (node == null) {
        return;
    }
    System.out.print(node.val + "\t"); // 值
    preOrder(node.left); // 左
    preOrder(node.right); // 右
}

/**
 * 
中序遍历

 * @param node 节点
 */
static void inOrder(TreeNode node) {
    if (node == null) {
        return;
    }
    inOrder(node.left); // 左
    System.out.print(node.val + "\t"); // 值
    inOrder(node.right); // 右
}

/**
 * 
后序遍历

 * @param node 节点
 */
static void postOrder(TreeNode node) {
    if (node == null) {
        return;
    }
    postOrder(node.left); // 左
    postOrder(node.right); // 右
    System.out.print(node.val + "\t"); // 值
}

非递归实现

前序遍历

LinkedListStack stack = new LinkedListStack<>();
TreeNode curr = root;

while (!stack.isEmpty() || curr != null) {
    if (curr != null) {
        stack.push(curr);
        System.out.println(curr);
        curr = curr.left;
    } else {
        TreeNode pop = stack.pop();
        curr = pop.right;
    }

}

 

中序遍历

LinkedListStack stack = new LinkedListStack<>();
TreeNode curr = root;

while (!stack.isEmpty() || curr != null) {
    if (curr != null) {
        stack.push(curr);
        curr = curr.left;
    } else {
        TreeNode pop = stack.pop();
        System.out.println(pop);
        curr = pop.right;
    }
}

后序遍历

对于后序遍历，向回走时，需要处理完右子树才能 pop 出栈。如何知道右子树处理完成呢？

  • 如果栈顶元素的 $right \equiv null$ 表示没啥可处理的，可以出栈

  • 如果栈顶元素的 $right \neq null$，

    • 那么使用 lastPop 记录最近出栈的节点，即表示从这个节点向回走

    • 如果栈顶元素的 $right==lastPop$ 此时应当出栈

对于前、中两种遍历，实际以上代码从右子树向回走时，并未走完全程（stack 提前出栈了）后序遍历以上代码是走完全程了

统一写法

下面是一种统一的写法，依据后序遍历修改

LinkedList stack = new LinkedList<>();

TreeNode curr = root; // 代表当前节点
TreeNode pop = null; // 最近一次弹栈的元素
while (curr != null || !stack.isEmpty()) {
    if (curr != null) {
        colorPrintln("前: " + curr.val, 31);
        stack.push(curr); // 压入栈，为了记住回来的路
        curr = curr.left;
    } else {
        TreeNode peek = stack.peek();
        // 右子树可以不处理, 对中序来说, 要在右子树处理之前打印
        if (peek.right == null) {
            colorPrintln("中: " + peek.val, 36);
            pop = stack.pop();
            colorPrintln("后: " + pop.val, 34);
        }
        // 右子树处理完成, 对中序来说, 无需打印
        else if (peek.right == pop) {
            pop = stack.pop();
            colorPrintln("后: " + pop.val, 34);
        }
        // 右子树待处理, 对中序来说, 要在右子树处理之前打印
        else {
            colorPrintln("中: " + peek.val, 36);
            curr = peek.right;
        }
    }
}

public static void colorPrintln(String origin, int color) {
    System.out.printf("\033[%dm%s\033[0m%n", color, origin);
}

一张图演示三种遍历

基础数据结构_第38张图片

 

  • 红色：前序遍历顺序

  • 绿色：中序遍历顺序

  • 蓝色：后续遍历顺序

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