【算法训练（day1）】李白打酒加强版（dp问题）

目录

一.题目描述

输入格式

输出格式

输入输出样例

说明/提示

二.解题思路

定义状态

推导状态方程

细节处理 

三.实现代码

四.小结一下

---

一.题目描述

话说大诗人李白，一生好饮。幸好他从不开车。

一天，他提着酒壶，从家里出来，酒壶中有酒 22 斗。他边走边唱：

无事街上走，提壶去打酒。
逢店加一倍，遇花喝一斗。

这一路上，他一共遇到店 NN 次，遇到花 MM 次。已知最后一次遇到的是花，他正好把酒喝光了。

请你计算李白这一路遇到店和花的顺序，有多少种不同的可能?

注意：壶里没酒（00 斗）时遇店是合法的，加倍后还是没酒；但是没酒时遇花是不合法的。

输入格式

第一行包含两个整数 NN 和 MM。

输出格式

输出一个整数表示答案。由于答案可能很大，输出模 10000000071000000007（即 109+7109+7）的结果。

输入输出样例

输入 #1复制

5 10

输出 #1复制

14

说明/提示

【样例说明】

如果我们用 0 代表遇到花，1 代表遇到店，1414 种顺序如下:

010101101000000
010110010010000
011000110010000
100010110010000
011001000110000
100011000110000
100100010110000
010110100000100
011001001000100
100011001000100
100100011000100
011010000010100
100100100010100
101000001010100

【评测用例规模与约定】

对于 40%40% 的评测用例：1≤N,M≤101≤N,M≤10。

对于 100%100% 的评测用例：1≤N,M≤1001≤N,M≤100。

蓝桥杯 2022 省赛 B 组 I 题。

二.解题思路

定义状态

这道题可以用dp求解，因为最后恰好喝完酒，并且没酒的时候遇到花是不合法的，这说明酒的最大数量不能大于花加起来的数量，如果酒的数量大于花的数量在最后就无法将所有的酒喝完，这是一个关键点。这样我们就需要记录下来酒的数量，花的数量，和经历的店的数量。我们可以用一个三维数组来表示，数组内存的是状态数，也就是走到当前位置有多少种方案。

推导状态方程

接下来我们需要推导出状态转移方程，我们用i表示走过的店，j表示走过的花 ，k表示走过的酒。当我们走到最后一步时有两种情况，是花还是店。这样划分就不会遗漏情况。

细节处理 

这里有个细节就是最后dp推到完毕取结果的时候不能直接取f[n][m][0],因为我们无法保证最后一步恰好是花，当最后一步为花时，最后一步和倒数第二步的组合数是一样的。还有个细节是dp过程中要加上自己本身的值，因为当有的时候前位置既可以是花又可以是店，我们需要把两个值加起来才是真正的值。

三.实现代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int f[110][110][110]; //店，花，酒
int main() {
    int m, n; // n是店的数量，m是花
    cin >> n >> m;
    f[0][0][2] = 1;
    for (int i = 0; i <= n; i++) 
    {
        for (int j = 0;j<=m;j++)
        {
            for(int k = 0;k<=m;k++)
            {
                if( i>0 && k%2==0)  //最后一步是店，说明走到最后一步时，店数加一，酒数翻倍，所以上一步酒数应该/2，并且店数应该比当前值小1
                {
                    f[i][j][k] = (f[i][j][k]+f[i-1][j][k/2])%1000000007;
                }
                if(j>0 && k>0)  //最后一步是花，说明走到当前值时，花数加一，酒数减一
                {//当前位置需要加上自身的值因为有可能会在上面进入从而导致初始值不是0
                    f[i][j][k] = (f[i][j][k]+f[i][j-1][k+1])%1000000007;
                }
            }
        }
    }
    cout<

四.小结一下

本质还是到dp，不过有多种限制条件，酒的数量和题目中的合法条件决定了dp状态，题眼是不能让酒的数量大于花的数量