【学习笔记】CF1770F Koxia and Sequence

发现每个位置是等价的，这样如果$n$为偶数那么答案是$0$，否则为所有方案数中$a_1$的异或和

发现题目设计的非常巧妙，加上 $({\text{OR}}_{i=1}^n{a}_i)\subseteq y$ 的限制过后，变量的取值就有了范围，我们可以利用这一条件对式子进行化简

考虑钦定$a_1$的第$k$位为$1$，然后计算方案数为：$$\begin{array}{rl}& \sum _{\sum a_i=x-2^k}[a_1\subseteq y-2^k][a_2\subseteq y]...[a_n\subseteq y]\\ & =\sum _{\sum a_i=x-2^k}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{y-2^k}{a_1}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{a_2}\right)...\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{y}{a_n}\right)\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{ny-2^k}{x-2^k}\right)\\ & =[(x-2^k)\subseteq (ny-2^k)]\end{array}$$

可以$O(1)$计算。最后枚举$y$的子集容斥计算即可。

复杂度$O(y\log y)$。

代码真的很短

#include
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define db double
#define ll long long
#define ull unsigned long long
using namespace std;
ll n,x,y,res;
int main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin>>n>>x>>y;
    if(n%2==0){
        cout<<0;
        return 0;
    }
    for(ll i=y;i;i=(i-1)&y){
        for(int j=0;j<20;j++){
            if(i>>j&1){
                ll a=x-(1<<j),b=n*i-(1<<j);
                if(a>=0&&b>=0&&(a&b)==a){
                    res^=(1<<j);
                }
            }
        }
    }cout<<res;
}