交换瓶子问题（暴力求解 + 图论解法）

交换瓶子问题

前言

知道题目用暴力算法是可以过的，注意数据范围是1~10000，卡在一个微妙的地方，不免让人想用暴力算法，但是我们现在又不在赛场上，自然是多多益善，在这里还会介绍图论的解法，喜欢的小伙伴可以点个赞啦。

题目描述

有 N 个瓶子，编号 1∼N，放在架子上。

比如有 5 个瓶子：
2 1 3 5 4
要求每次拿起 2个瓶子，交换它们的位置。
经过若干次后，使得瓶子的序号为：
1 2 3 4 5
对于这么简单的情况，显然，至少需要交换 2 次就可以复位。
如果瓶子更多呢？你可以通过编程来解决。
输入格式
第一行包含一个整数 N，表示瓶子数量。

第二行包含 N 个整数，表示瓶子目前的排列状况。

输出格式
输出一个正整数，表示至少交换多少次，才能完成排序。

数据范围
1≤N≤10000,
输入样例1：
5
3 1 2 5 4
输出样例1：
3
输入样例2：
5
5 4 3 2 1
输出样例2：
2

暴力解法【能过】

类似于选择排序这样的，与当前位置不同的数直接在后面的数组当中找到符合的数与之交换，前面的数已经排好序了，不需要考虑

#include
#include
using namespace std;
const int N =1e4+7;
int a[N];
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]!=i){
            for(int j=i+1;j<=n;j++){
                if(a[j]==i) swap(a[j],a[i]),cnt++;
            }        
        }
    }
    cout<<cnt;
}

图论解法

知识预备【交换环】

我们先举例分析：看下图

我们可以得到 3 个环

每个环是闭环，入度为 1 ，出度为 1。构建方式如上图所示
下面我们对环进行操作：
假设有个大环：

每次分解只能产生一个环
而我们最终的目的是将所有大环分解成一个一个小环，每个瓶子回到了本该属于自己3的位置，每次的分解操作只是一次交换
swap(a[ i ] , a [ j ])

现在我们有 n 个数， 假设产生 k 个环 ，那么我们至少需要 n - k 步操作才能使得大环变成一个一个最小环。而只要有环的长度>=2，那么我们就可以将其分解开来，使得可以在 n - k 步操作完成全部分解
现在我们只要求环的数量就行【类似于链表】 ，那么直接上代码

代码

解析都在代码注释当中呦

#include
#include
using namespace std;
const int N =1e4 + 7;
bool st[N];//判断一个数是否有被纳入环内
int a[N];//存储原数组

int main(){
    int n;cin>>n;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!st[i]){//从 1 号位开始枚举
            ans++;
            for(int j=i;!st[j];j=a[j]){
                //这里j=a[j]是本来的数--》本来数的位置上 的 现在的数
                st[j]=true;
            }
        }
    }
    cout<<n-ans<<endl;
}

暴力做法和图论做法的对比

上面的是图论，下面的是暴力。

总结

这边博客介绍了 2 种思路，图论的做法比较新奇，上述的结论也适合在其他类型的题目当中求解，后续还会更新图论相关的内容，喜欢的小伙伴可以点个关注啦