背包 问题

1、背包问题

1.1、01背包

题目:

有n件物品和一个容量为m的背包,第i件物品的体积是v[ i ],价值是w[ i ],每件物品只有一件,求在不超过背包容量的前提下,可以放的物品的最大价值是多少

基本思路:

每个物品只有一件,考虑去或者不取

状态设计:

//二维
状态表示:f[i][j]
    集合:从前i个物品中选,总体积不超过j的物品的价值
    属性:max
状态计算:
    选第i个物品:f[i][j]=min(f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i][j]);
    不选第i个物品:f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i][j]);

//时间复杂度基本无法优化,空间复杂度可以优化
//一维:由于每一次状态计算时仅需考虑计算上一个物品后的状态,但需要从m~0枚举体积
状态计算:
    f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

代码:

//不优化:二维
#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int N=1100;
int f[N][N];
int w[N],v[N];
int n,m;
int res;

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)   cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i])
            f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)   res=max(f[n][i],res);
    cout<
#include 
#include 

using namespace std;
const int N = 1111;
int f[N];
int n,m;
int v[N],w[N];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)   cin>>v[i]>>w[i];

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<

1.2、完全背包

题目:

有n件物品和一个容量为m的背包,第i件物品的体积是v[ i ],价值是w[ i ],每件物品有无限多件,求在不超过背包容量的前提下,可以放的物品的最大价值是多少

基本思路:

由于每种物品有无限多件,所以对于每种物品有无限多种选择(选0个,选1个······选n个)

状态设计:

状态表示:f[i][j]
    集合:从前i个物品中选,总体积不超过j的物品的价值
    属性:max
状态计算:
    //朴素O(n^3):
    枚举每件物品取多少件(k:0~j/v[i])
	f[i][j]=max(f[i][j],f[i-k][j-k*v[i]]+k*w[i])
    //优化:
    朴素版本时:
    	     f[i][j] =max{f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i], f[i-2][j-2*v[i]]+2*w[i]. ······ }
		f[i][j-v[i]] =max{           f[i-1][j-v[i]],      f[i-2][j-2*v[i]]+w[i]. ······ }
	由以上两个式子可知:
        不选第i个:f[i][j]=f[i-1][j]
        选第i个(不确定个数):f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
	//优化为一维
	f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])
        

代码:

//朴素做法  会超时
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int n,m;
const int N = 1111;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)   cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
            {
                f[i][j]=max(f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i],f[i][j]);
            }
        }
    }
    cout<
#include 
#include 

using namespace std;

int n,m;
const int N = 1111;
int v[N],w[N];
int f[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)   cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=v[i])
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
            }
        }
    }
    cout<
#include 
#include 

using namespace std;

int n,m;
const int N = 1111;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)   cin>>v[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
        {

                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<

1.3、多重背包

题目:

有n种物品和一个容量为m的背包,第 i 种物品有s[ i ]件,每件体积是v[ i ],价值是w[ i ],求在不超过背包容量的前提下,可以放的物品的最大价值是多少

基本思路(二进制优化版本):

任何一个数可以用二进制来表示,也就是20、21、……、2n 其中一项或几项的和

对于每一种物品划分为k组,每组的数量为2的倍数

然后转换为01背包进行考虑
状态设计:

同01背包

代码

#include
#include
#include

using namespace std;
const int N=25000;
int n,m;
int w[N],v[N];
int f[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            int a,b,s;
            cin>>a>>b>>s;
            int k=1;
            while(s>=k)
            {
                cnt++;
                v[cnt]=a*k;
                w[cnt]=b*k;
                s-=k;
                k*=2;
            }
            if(s)
            {
                cnt++;
                v[cnt]=a*s;
                w[cnt]=b*s;
            }
        }
    }
    n=cnt;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
        {
            f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<

1.4、分组背包

题目:

有n件物品(可以被分成几组)和一个容量为m的背包,第i件物品的体积是v[ i ],价值是w[ i ],组号为p[ i ],每组只能选一个物品,求在不超过背包容量的前提下,可以放的物品的最大价值是多少

基本思路:

对于每组物品考虑取(取哪一件)或者不取

状态设计:

状态表示:f[i][j]
    集合:从前i组中选,总体积不超过j的物品的价值
    属性:max
状态计算:
    第i组不选:f[i][j]=f[i-1][j]
    选第i组的第k个:f[i][j]=max(f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k])
    
//优化为一维
    f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k])

代码:

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
int n,m;
int w[110][110],v[110][110];
int s[110];
//二维  int f[110][110];
int f[110];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>s[i];
        for(int j=1;j<=s[i];j++)  scanf("%d%d",&v[i][j],&w[i][j]);
    }
    /*二维
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            for(int k=0;k<=s[i];k++)
            {
                if(j-v[i][k]>=0)
                {
                    f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);
                }
            }
        }
    }
    cout<=0;j--)
        {
            f[j]=f[j];
            for(int k=0;k<=s[i];k++)
            {
                if(j-v[i][k]>=0)
                {
                    f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
                }
            }
        }
    }
    cout<

1.5、混合背包

题目:

1.1、1.2、1.3三种背包混合起来,即有的物品只可以取一次(01背包),有的物品可以取无限次(完全背包),有的物品可以取的次数有一个上限(多重背包)。

基本思路:

同上,分情况考虑各物品

状态设计:

同上

例题+代码:

有N种物品和一个容量是 V的背包。
物品一共有三类:
第一类物品只能用1次(01背包);
第二类物品可以用无限次(完全背包);
第三类物品最多只能用 si 次(多重背包);
每种体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使物品体积总和不超过背包容量,且价值总和最大。
输出最大价值。
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int N=1010;

int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
        if(s[i]==-1)    s[i]=1;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(s[i]==0)
        {
            for(int j=v[i];j<=m;j++)
            {
                f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
            }
        }

        else
        {
            for(int k=1;k<=s[i];k*=2)
            {
                for(int j=m;j>=k*v[i];j--)
                {
                    f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
                }
                s[i]-=k;
            }
            if(s[i])
            {
                for(int j=m;j>=s[i]*v[i];j--)
                {
                    f[j]=max(f[j],f[j-s[i]*v[i]]+s[i]*w[i]);
                }
            }
        }
    }

    cout<

1.6、二维费用的背包

题目:

对于每种物品有两个限制条件,即除了对体积有限制外,还有一个限制量

基本思路:

增加了一重限制,所以需要增加一维变量

状态设计:

状态表示:f[i][j][k]
    集合:从前i个中选,体积不超过j,重量不超过k的价值
    区间:max
状态计算:
    同上

代码:

#include 
#include 
#include 

using namespace std;
const int N=1010;

int n,M,W;
int v[N],m[N],w[N];
int f[110][110];

int main()
{
    cin>>n>>M>>W;
    for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%d%d%d",&v[i],&m[i],&w[i]);

    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=M;j>=v[i];j--)
        {
            for(int k=W;k>=m[i];k--)
            {
                f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v[i]][k-m[i]]+w[i]);
            }
        }
    }

    cout<

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