背包 问题
1、背包问题
1.1、01背包
题目：
有n件物品和一个容量为m的背包，第i件物品的体积是v[ i ]，价值是w[ i ]，每件物品只有一件，求在不超过背包容量的前提下，可以放的物品的最大价值是多少
基本思路：
每个物品只有一件，考虑去或者不取
状态设计：
//二维
状态表示：f[i][j]
集合：从前i个物品中选，总体积不超过j的物品的价值
属性：max
状态计算：
选第i个物品：f[i][j]=min(f[i-1][j-v[i]]+w[i],f[i][j]);
不选第i个物品：f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i][j]);
//时间复杂度基本无法优化，空间复杂度可以优化
//一维：由于每一次状态计算时仅需考虑计算上一个物品后的状态，但需要从m~0枚举体积
状态计算：
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
代码：
//不优化：二维
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1100;
int f[N][N];
int w[N],v[N];
int n,m;
int res;
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=v[i])
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) res=max(f[n][i],res);
cout<
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1111;
int f[N];
int n,m;
int v[N],w[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=m;j>=v[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout< 1.2、完全背包
题目：
有n件物品和一个容量为m的背包，第i件物品的体积是v[ i ]，价值是w[ i ]，每件物品有无限多件，求在不超过背包容量的前提下，可以放的物品的最大价值是多少
基本思路：
由于每种物品有无限多件，所以对于每种物品有无限多种选择（选0个，选1个······选n个）
状态设计：
状态表示：f[i][j]
集合：从前i个物品中选，总体积不超过j的物品的价值
属性：max
状态计算：
//朴素O(n^3)：
枚举每件物品取多少件(k:0~j/v[i])
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-k][j-k*v[i]]+k*w[i])
//优化：
朴素版本时：
f[i][j] =max{f[i-1][j], f[i-1][j-v[i]]+w[i], f[i-2][j-2*v[i]]+2*w[i]. ······ }
f[i][j-v[i]] =max{ f[i-1][j-v[i]], f[i-2][j-2*v[i]]+w[i]. ······ }
由以上两个式子可知：
不选第i个：f[i][j]=f[i-1][j]
选第i个（不确定个数）：f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
//优化为一维
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])
代码：
//朴素做法 会超时
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m;
const int N = 1111;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)
{
f[i][j]=max(f[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i],f[i][j]);
}
}
}
cout<
#include
#include
using namespace std;
int n,m;
const int N = 1111;
int v[N],w[N];
int f[N][N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];
if(j>=v[i])
{
f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-v[i]]+w[i]);
}
}
}
cout<
#include
#include
using namespace std;
int n,m;
const int N = 1111;
int v[N],w[N];
int f[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i];
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=v[i];j<=m;j++)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout< 1.3、多重背包
题目:
有n种物品和一个容量为m的背包，第 i 种物品有s[ i ]件，每件体积是v[ i ]，价值是w[ i ]，求在不超过背包容量的前提下，可以放的物品的最大价值是多少
基本思路（二进制优化版本）：
任何一个数可以用二进制来表示，也就是20、21、……、2n 其中一项或几项的和
对于每一种物品划分为k组，每组的数量为2的倍数
然后转换为01背包进行考虑
状态设计：
同01背包
代码
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=25000;
int n,m;
int w[N],v[N];
int f[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
int cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=1;j<=m;j++)
{
int a,b,s;
cin>>a>>b>>s;
int k=1;
while(s>=k)
{
cnt++;
v[cnt]=a*k;
w[cnt]=b*k;
s-=k;
k*=2;
}
if(s)
{
cnt++;
v[cnt]=a*s;
w[cnt]=b*s;
}
}
}
n=cnt;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=m;j>=v[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
cout< 1.4、分组背包
题目：
有n件物品（可以被分成几组）和一个容量为m的背包，第i件物品的体积是v[ i ]，价值是w[ i ]，组号为p[ i ]，每组只能选一个物品，求在不超过背包容量的前提下，可以放的物品的最大价值是多少
基本思路：
对于每组物品考虑取（取哪一件）或者不取
状态设计：
状态表示：f[i][j]
集合：从前i组中选，总体积不超过j的物品的价值
属性：max
状态计算：
第i组不选：f[i][j]=f[i-1][j]
选第i组的第k个：f[i][j]=max(f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k])
//优化为一维
f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k])
代码：
#include
#include
#include
using namespace std;
int n,m;
int w[110][110],v[110][110];
int s[110];
//二维 int f[110][110];
int f[110];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>s[i];
for(int j=1;j<=s[i];j++) scanf("%d%d",&v[i][j],&w[i][j]);
}
/*二维
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=0;j<=m;j++)
{
f[i][j]=f[i-1][j];
for(int k=0;k<=s[i];k++)
{
if(j-v[i][k]>=0)
{
f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-v[i][k]]+w[i][k]);
}
}
}
}
cout<=0;j--)
{
f[j]=f[j];
for(int k=0;k<=s[i];k++)
{
if(j-v[i][k]>=0)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
}
}
}
}
cout< 1.5、混合背包
题目：
将1.1、1.2、1.3三种背包混合起来，即有的物品只可以取一次（01背包），有的物品可以取无限次（完全背包），有的物品可以取的次数有一个上限（多重背包）。
基本思路：
同上，分情况考虑各物品
状态设计：
同上
例题+代码：
有N种物品和一个容量是 V的背包。
物品一共有三类：
第一类物品只能用1次（01背包）；
第二类物品可以用无限次（完全背包）；
第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；
每种体积是 vi，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使物品体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。
输出最大价值。
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int v[N],w[N],s[N];
int f[N];
int main()
{
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d",&v[i],&w[i],&s[i]);
if(s[i]==-1) s[i]=1;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
if(s[i]==0)
{
for(int j=v[i];j<=m;j++)
{
f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
}
}
else
{
for(int k=1;k<=s[i];k*=2)
{
for(int j=m;j>=k*v[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-k*v[i]]+k*w[i]);
}
s[i]-=k;
}
if(s[i])
{
for(int j=m;j>=s[i]*v[i];j--)
{
f[j]=max(f[j],f[j-s[i]*v[i]]+s[i]*w[i]);
}
}
}
}
cout< 1.6、二维费用的背包
题目：
对于每种物品有两个限制条件，即除了对体积有限制外，还有一个限制量
基本思路：
增加了一重限制，所以需要增加一维变量
状态设计：
状态表示：f[i][j][k]
集合：从前i个中选，体积不超过j，重量不超过k的价值
区间：max
状态计算：
同上
代码：
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=1010;
int n,M,W;
int v[N],m[N],w[N];
int f[110][110];
int main()
{
cin>>n>>M>>W;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&v[i],&m[i],&w[i]);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
for(int j=M;j>=v[i];j--)
{
for(int k=W;k>=m[i];k--)
{
f[j][k]=max(f[j][k],f[j-v[i]][k-m[i]]+w[i]);
}
}
}
cout<