1.多项式中的常见问题

不随数域变化的的一些性质

• 带余除法的结果

• 最大公因式及互素性

• 多项式无重根性

三者由上到下进行推导

整系数多项式问题

命题1 是一个整系数多项式，如果存在正整数m，满足，则没有整数根，特别地，如果是首一的，则也没有有理根（因为首一整系数多项式有理根都是整数根）
证明：

经典例题

(1)设是一个整系数多项式，已知是一个整系数多项式，且都是奇数，则无整数根。
(2)设是一个整系数多项式，已知a是偶数，b是奇数，且都是奇数，则无整数根。
(3)已知是一个整系数多项式，已知都不被3整除，则无整数根

艾森斯坦判别法的应用

此判别法的证明过程相当的重要，务必熟悉课本证明方法，了解每一个整除和不整除的目的。

证明过程梳理

定理叙述

(艾森斯坦判别法)设是一个n次整系数多项式，且存在素数p使得

证明提要

• 采用反证法，假设可以分解为两个不可约多项式
• 由(1)知,由(2)知 或,由(3)知不同时整除于
• 不妨假设,将左侧分解式从右至左第一个不被p整除的系数记为(一定能找到，由上一点知)，考虑由于但故而故与已知条件矛盾

典型例题

设是一个整系数多项式，并且存在素数p使得，则有一个次数大于等于r且在有理数域上不可约的因式。

一个经典命题

命题1.2设其中，则可约性相同
推论：推广的爱森斯坦判别法，只需满足一个就可知道另一个也是否可约

不可约因式与反证法

利用这二者为强大工具，可以进行一系列证明。

例1.已知，则
证明：假设，则取的不可约因式，，又不可约，故或，就会得到或，不管哪种情况，都与之前的已知矛盾。

例2.已知是两个多项式，证明：对任意正整数n，都有

例3.已知是两个多项式，且，证明：对任意正整数n有

整除问题

首先，引入一个命题，课本上作为习题出现，对于一下题目的证明起到相当粗暴有效的作用。

命题.已知m,n是正整数，则
证明：显然有，又假设满足，由知存在那么

例.设，证明充要条件是n为偶数

一类特殊的问题

例.已知是互异的整数，证明：
(1)在有理数域上不可约
(2)n是奇数时，在有理数域上不可约
(3)n是偶数时比较繁琐：可以证明n=2或4时，在有理数域上可能可约，但时，g(x)在有理数域上一定不可约(证明过程参见丘维声高等代数教材)
(4)在有理数域上不可约
提示：不妨假设可约，(1),(2)中将带入后，可分别得到和进一步可得到矛盾，(4)中则利用推导出不可能出现分解式一会儿正，一会儿负的情况，否则由于多项式连续，介值定理知必存在零点，矛盾，故分解式恒正或恒负，接下来工作就较为简单了。