功率谱密度PSD(笔记)

能量守恒：时域能量等于频域能量

功率谱密度能够反映随机振动的功率关于频率的分布密度

功率谱密度（PSD）：单位是功率/Hz。针对功率有限信号(能量有限信号用能量谱密度)。表现为是单位频带内信号功率随频率的变换情况，即信号功率在频域的分布状况。（广义上说，“功率”的单位一般为带测量单位的平方）

通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。

0.信号的分类

0.1 先说个例子

对于任意的时间信号 x(t) ，这个信号可以是任意随时间变化的物理量，在对信号进行能量分析时，不加区分地将其视为施加在阻值是单位电阻，即 R = 1Ω 的电阻上的电流。基于此，这个单位电阻的能量属性，就视为这个信号的能量属性
W与P是相互矛盾的
第一个极限存在，即称为 能量信号，若第二个极限存在，则称为 功率信号
例子结束

0.2 能量信号和功率信号

信号分为能量信号和功率信号。链接

能量信号全名：能量有限信号。顾名思义，它是指在负无穷到正无穷时间上总能量不为零且有限的信号。典型例子：脉冲信号。
即能量有限可以用数值描述的信号，感性理解：在时域上“有头有尾”的信号。

功率信号全名：功率有限信号。它是指在在负无穷到正无穷时间上功率不为零且有限的信号。典型例子：正弦波信号，噪声信号。
即功率有限可以用数值描述的信号，感性理解：比如在时域上功率积分为0的信号。

一个信号不可能既是能量信号又是功率信号。

能量信号在无穷大时间上功率为0，不满足功率信号功率不为0的定义；
功率信号在无穷大时间上能量为无穷大，不满足能量有限的定义。

但是，一个信号可以既不是能量信号也不是功率信号（即还存在能量信号与功率信号以外的其他类型的信号）

在实际的通信系统中，信号都具有有限的发射功率、有限的持续时间，因而具有有限的能量E。
但是，若信号的持续时间非常长，例如广播信号，则可以近似认为它具有无限长的持续时间。此时，认为定义的信号平均功率是一个有限的正值，但是其能量近似等于无穷大。我们把这种信号称为功率信号。

功率信号还可以细分为周期信号（如正弦波信号）和随机信号（如噪声信号）。
随机信号的定义：幅度未可预知但又服从一定统计特性的信号，又称不确定信号。

对于能量信号和周期信号，其傅里叶变换收敛，因此可以用频谱（Spectrum）来描述；
对于随机信号（实际的信号基本上是随机信号），傅里叶变换不收敛，因此不能用频谱来描述，而应当使用功率谱密度（PSD）。

注：频谱和功率谱密度的区别：
1.频谱分为幅频谱和相频谱，而功率谱密度没有相位信息。
2.频谱的单位是被测物理量的单位，如电压V，加速度g等，而功率谱密度的单位是被测物理量单位^2/Hz，如V2/Hz，g^2/Hz等，因为功率谱密度反映的就是某一频率的能量密度。
3.频谱的计算方法固定，计算结果固定；功率谱密度无法精确获得，只能进行谱估计，求解方法不唯一，结果也不唯一。

在实际应用中，一个信号我们不可能获得无穷长时间段内的点，对于数字信号，只能通过采样的方式获得N个离散的点。工程上，由于噪声的存在，实际信号基本上是随机信号，由于不可能对所有点进行考察，我们也就不可能获得其精确的功率谱密度，而只能利用谱估计的方法来“估计”功率谱密度。

1.谱估计法

谱估计有两种：经典谱估计和现代谱估计。
经典谱估计是将采集数据外的未知数据假设为零；
现代谱估计是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱，主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的，应用最广的是AR参数模型。

经典功率谱估计的方法有两种：周期图法（直接法）和自相关法（间接法）。
周期图法是将随机信号的N个采样点视作一个能量有限信号，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱密度的估计。
自相关法的理论基础是维纳-辛钦定理，即先对信号做自相关，然后傅里叶变换，从而得到功率谱密度。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。 通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。
（注：MATLAB的pwelch()函数即采用周期图法来进行功率谱估计） Welch周期图法是修正的周期图功率谱密度的估计方法，它将信号分段加窗求其功率谱密度，然后做平均处理

2、自相关法：根据维纳-辛钦定理，先估计相关函数，再经傅立叶变换得功率谱估计。功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。功率谱具有单位频率的平均功率量纲，所以标准叫法是功率谱密度。通过功率谱密度函数，可以看出随机信号的能量随着频率的分布情况。像白噪声就是平行于w轴，在w轴上方的一条直线。