应用概率统计-第二章 离散型随机变量

目录

一、随机变量

1、随机变量的定义

2、随机变量的分类 

 二、离散型随机变量的概率分布

 1、分布律

 2、分布函数

 三、二项分布

1、伯努利概型

2、二项分布

3、两点分布

 四、泊松分布

五、超几何分布

 六、负二项分布

 七、随机变量函数的分布

---

一、随机变量

1、随机变量的定义

设 W 是试验E的样本空间, 若则称  X ( w) 为 W 上的 随机变量。

 随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母x ,h ,z 等表示而表示随机变量所取的值时,一般采用小写字母x,y,z等。

 

2、随机变量的分类 

随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。其中，离散型随机变量的所有取值可以一一列举。连续型随机变量有无穷多取值，不能一一列举，充满一个空间。

 二、离散型随机变量的概率分布

 1、分布律

        P(X=xk)=Pk，k=1,2,3......

        

 2、分布函数

 分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数学分析的工具来研究 随机变量。

性质：1.单调不减；2、0≤F(X)≤1；3、右连续

 三、二项分布

1、伯努利概型

n 重伯努利 (Bernoulli)试验：

• 试验可重复 n 次
• 每次试验只有两个可能的结果
• 每次试验的结果互不影响----称为这 n 次试验是相互独立的

 n重Bernoulli试验中事件 A 出现的次数记为X。

2、二项分布

n 重Bernoulli 试验中, X 是事件A 在 n 次试验中发生的次数 , P (A) = p ,若

 则称 X 服从参数为n, p 的二项分布，记作X~B( n , p )

• 当( n + 1) p = 整数时,在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p  – 1 处的概率取得最大值。
• 当( n + 1) p ¹ 整数时, 在 k = [( n + 1) p ]处的概率取得最大值。

3、两点分布

当二项分布中n=1时，符合两点分布。

 四、泊松分布

   

所以，若X ~ B( n, p), 则当n 较大，p 较小, 则可以用泊松分布X ~ π()来近似

• 当λ= 整数时,在λ与λ– 1 处的概率取得最大值。
•  当λ¹ 整数时, 在 [λ]处的概率取得最大值。

五、超几何分布

设有 N 件产品，其中有 M 件次品，现从中任取 n 件，用 X 表示其中的次品数，求其分布律。

N 很大，n 很小时，超几何分布近似于二项分布。

 六、负二项分布

n 重Bernoulli 试验中, P (A) = p ,事件A 第r次成功出现在 第X 次试验,则称 X 服从负二项分布：

 r=1时，负二项分布变为几何分布：

 七、随机变量函数的分布

        方法   将与Y 有关的事件转化成 X 的事件