图像金字塔之高斯金字塔

七月快乐鸭！期末考后的小李上线了！前阵子因为考试实在太忙了 以致于一停下来就想快乐咸鱼每一天。昨天看到智能图像的分数出来了，是满意的。于是今天还是搬运智能图像论文的知识点，关于高斯金字塔的内容。

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1. 图像金字塔

1.1. 图像金字塔介绍
在图像处理过程中，同一幅图像中一般都含有不同尺度下的有用信息，尺度越精细，图像的细节信息越丰富，为了充分且有效地利用这些信息，通常需要对图像进行多尺度描述。

图像金字塔是一种经典的图像多尺度描述方法。它是一种以多分辨率来描述图像的有效且简洁的结构。一幅图像的金字塔实际上是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低并且都来自同一张原始图片的图像集合,集合里每一个图像被称为一个层。图像金字塔底层是源图像的高分辨率表示，顶层则是低分辨率的近似，一层一层堆叠的图像形如“金字塔”，层级越高，图像越小，分辨率越低。它的建立是以一系列的迭代计算方式进行的。故，图像金字塔可以较好地以多尺度方式描述图像的信息，在图像处理和计算机视觉领域中应用广泛。

1.2. 传统的图像金字塔

随着图像处理技术的迅猛发展，图像金字塔的结构及方法也在不断发展和完善。目前较为常用的图像金字塔结构包括高斯金字塔、拉普拉斯金字塔、高斯差分金字塔等。

最简洁的一种图像金字塔为子抽样金字塔，即每层图像只需要对其上一层的图像沿行、列两个方向等间隔抽样就可得到。子抽样金字塔的构建速度较快，但如果只是单纯地通过采样来建立图像金字塔，会造成尺度变化粒度太大且准确率低。为了解决此问题，需要引入一个滤波器，该滤波器需要满足不会在滤波过程中增加新的局部极值点且不依赖于图像本身的值的条件。Babaud在1986年曾提出的高斯滤波可以满足此条件，故，产生了高斯金字塔。该种金字塔主要是利用高斯平滑以及下采样得到上一层的图像，之后反复迭代多次，形成一个具有金字塔形状的图像数据结构，即高斯金字塔。

在高斯金字塔的运算过程中，图像经过卷积和下采样操作会丢失部分高频细节信息，为了更好描述这些信息，1983年 Burt和提出拉普拉斯金字塔，来完成图像的多分辨率表示。拉普拉斯金字塔是高斯金字塔的重建。它是用高斯金字塔的每一层图像减去其上一层图像上采样并高斯卷积之后的预测图像，从而得到一系列的差值图像。在某种意义上，拉普拉斯金字塔可以看成高斯金字塔的逆形式，高斯金字塔是下采样，而拉普拉斯金字塔则是从金字塔底层图像中向上采样重建一个图像。

Lindeberg>在1994年发现高斯差分函数与尺度归一化的高斯拉普拉斯函数非常近似，因此使用差分逼近并在高斯金字塔的基础上构建出高斯差分金字塔。它的第一组第一层是由高斯金字塔的第一组第二层减第一组第一层，如此往上不断迭代相减而形成的金字塔。故，每一组在层数上，高斯差分金字塔比原本的高斯金字塔少一层。

1.3. 高斯金字塔

高斯金字塔是常见的一种图像金字塔，在图像处理领域中应用广泛。
常用的建立高斯金字塔的方法是自底向上一层一层地迭代计算生成。该方法通常分为两个步骤：第一，使用高斯低通滤波器对图像进行平滑（高斯模糊），第二，对经高斯平滑处理后的图像进行下采样，得到一系列尺寸的图像。减少一幅图像的尺寸，仅仅靠采样会丢失许多信息。根据采样定理，需要让所有小于最短波长的1/4采样而得到的精细结构能通过平滑滤波器来消除掉，这样才能获得一幅正确的采样图像，故采样前先进行高斯平滑。如图1所示为高斯金字塔模型的建立过程。从图中可以看出高斯金字塔的第K层图像通过高斯模糊和降采样就可得到第K+1层的高斯图像。这边的降采样为隔行隔列降采样，即可将所有的偶数行列去除，得到上层图像的像素为下层图像的1/4。通过这两个步骤反复迭代就能得到一个完整的高斯金字塔。

高斯金字塔的建立过程

假设原图为M×N大小的图像，高斯金字塔第K层图像是由K-1层图像经 Gaussian 函数 W卷积及下采样得到，公式如下：

其中G_k(x, y)为第k层高斯金字塔图像，W(m, n) = h(m)×h(n)为二维可分离的 5×5 具有低通特性的窗口函数，h 为高斯密度分布函数。此分布函数满足约束条件：可分离性、对称性、规范性以及等贡献性，则窗口函数W(m, n)可表示如下：

通过不断迭代计算就可以生成一系列的图像G_0，G₁…，G_N,构成一个完整的高斯金字塔，G₀即为原图像即为高斯金字塔的底层，G_N为高斯金字塔的顶层。除了上述这种构建方法外，还可以直接将原始图像即金字塔底层与一组等效加权函数进行卷积生成高斯金字塔的各个层。如图2 所示即为图像通过高斯金字塔处理后生成的一系列不同尺度的图像。

经高斯金字塔处理后的图像

在高斯金字塔中包含了一系列的低通滤波器，其频率从上一层到下一层以因子2逐步增加，所以它具有跨越较大频率范围的优势，可以较好地对图像进行多尺度描述。凭借此特点，高斯金字塔在得到了广泛应用，不仅运用到了目标检测、运动姿态估计，更有运用到遥感云图的尺度特征提取、数字水印算法等等。高斯金字塔结构简洁又通俗易懂，未来可在其结构上进行改造延伸并与其他优秀的算法相结合，从而应用到新的领域中。

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Ending!
七月继续加油！好运光临！