算法刷题 week4
目录
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- 1.斐波那契数列
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- 题目
- 题解
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- (递推 + 滚动变量) O(n)
- 剑指offer 10 - II 青蛙跳台阶问题
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- 题目
- 题解
- 10.旋转数组的最小数字
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- 题目
- 题解
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- (二分) O(n)
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1.斐波那契数列
题目
题解
(递推 + 滚动变量) O(n)
这题的数据范围很小，我们直接模拟即可。
当数据范围很大时，就需要采用其他方式了，可以参考 求解斐波那契数列的若干方法 。
F(0) = 0, F(1) = 1
F(N) = F(N - 1) + F(N - 2), 其中 N > 1.
斐波那契数列由 0 和 1 开始，之后的斐波那契数就是由之前的两数相加而得出。
用两个变量滚动式得往后计算，a 表示第 n−1 项，b 表示第 n 项。
则令 c=a+b 表示第 n+1 项，然后让 a, b 顺次往后移一位。
时间复杂度分析
总共需要计算 n 次，所以时间复杂度是 O(n) ，但空间复杂度变成了 O(1)。
class Solution {
public:
const int MOD = 1e9 + 7; //1000000007
int Fibonacci(int n) {
int a = 0, b = 1;
while (n--)
{
int c = (a + b) % MOD; //取模优先级比加减高，比乘数低
a = b, b = c; //逗号运算符，从左到右计算
}
return a;
}
};
// 0 1 1 2 3 5
//第几项 0 1 2 3 4 5
剑指offer 10 - II 青蛙跳台阶问题
题目
题解
此类求 多少种可能性 的题目一般都有 递推性质 ，即 f(n) 和 f(n-1)…f(1) 之间是有联系的。
计算 f(n) 需循环 n 次，每轮循环内计算操作使用 O(1) ，所以时间复杂度是 O(n) 。
几个标志变量使用常数大小的额外空间，空间复杂度为 O(1)。
class Solution {
public:
const int MOD = 1e9 + 7; //1000000007
int numWays(int n) {
int a = 1, b = 1; //只有起始条件不同，其它都与上题相同
while (n--)
{
int c = (a + b) % MOD; //取模优先级比加减高，比乘数低
a = b, b = c; //逗号运算符，从左到右计算
}
return a;
}
};
10.旋转数组的最小数字
题目
题解
(二分) O(n)
为了便于分析，我们先将数组中的数画在二维坐标系中，横坐标表示数组下标，纵坐标表示数值， 图中水平的实线段表示相同元素。如下所示：
我们发现除了最后水平的一段（黑色水平那段）之外，其余部分满足二分性质：竖直虚线左边的数满足 nums[i]≥nums[0]；而竖直虚线右边的数不满足这个条件。
二分是二分性而不是单调性。只要满足可以找到一个值一半满足一半不满足即可，而不用满足单调性。
分界点就是整个数组的最小值，所以我们先将最后水平的一段删除即可。
另外，不要忘记处理数组完全单调的特殊情况：
当我们删除最后水平的一段之后，如果剩下的最后一个数大于等于第一个数，则说明数组完全单调。
时间复杂度分析
二分的时间复杂度是 O(logn)，删除最后水平一段的时间复杂度最坏是 O(n)，所以总时间复杂度是 O(n)。
class Solution
{
public:
int findMin(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size() - 1;
if(n < 0) return -1;
while (n > 0 && nums[n] == nums[0]) n--; //删除最后水平的一段，当n=0时，只有一个数，也要退出循环
if (nums[n] >= nums[0]) return nums[0]; //当没有元素旋转时，则出现这种情况
int l = 0, r = n;
while (l < r) {
int mid = l + r >> 1; //[l, mid], [mid + 1, r]
if (nums[mid] < nums[0]) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return nums[r];
}
};