评价模型：层次分析法

写在前面：
博主本人大学期间参加数学建模竞赛十多余次，获奖等级均在二等奖以上。为了让更多学生在数学建模这条路上少走弯路，故将数学建模常用数学模型算法汇聚于此专栏，希望能够对要参加数学建模比赛的同学们有所帮助。

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1. 模型建立

1.1 建立层次结构模型

  在深入分析实际问题的基础上，将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次，同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响，同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用。最上层为目标层，通常只有1个因素，最下层通常为方案或对象层，中间可以有一个或几个层次，通常为准则或指标层，当准则过多时(一般为9个时)应进一步分解出子准则层。
  利用层次分析法，对大学生毕业后的选择进行排序：

1.2 构造判断矩阵

  层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重 并不一定相同。设$x_i$与$y_i$对$z$的影响之比为$a_{ij}$,则$x_i$与$y_i$对$z$的影响之比$a_{ji}=1/a_{ij}$。
若矩阵$A={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n}$满足
$$(1)a_{ij}>0,(2)a_{ji}=\frac{1}{a_{ij}}$$
则称之为正互反矩阵。
若矩阵A还满足
$$a_{ij}{a}_{jk}=a_{ik},\forall i,j,k=1,2,\cdots ,n$$
则称之为一致矩阵。
n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根${\lambda }_{\max }=n$ ，且当正互反矩阵A非一致时，必有 ${\lambda }_{\max }>n$。
关于如何确定$a_{ij}$的值，建议引用数字 1-9 及其倒数作为标度。下表列出了 1-9 标度的含义。

现构造准则层的判断矩阵如下：

表 2 准则层的判断矩阵

A	B1	B2	B3	B4	B5
B1	1	2	1/2	1	5
B2	1/2	1	1/4	1/2	2
B3	2	4	1	2	3
B4	1	2	1/2	1	4
B5	1/5	1/2	1/3	1/4	1

接着构造方案层的判断矩阵如下：

表 3 方案层的判断矩阵

1.3 判断矩阵的一致性检验

对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：
（1）计算一致性指标CI。
$$CI=\frac{{\lambda }_{\max }-n}{n-1}$$
（2） 查找相应的平均随机一致性指标 RI，对于$n=1,2,\cdots ,9$,对应的RI值如下

（3） 计算一致性比例CR。
$$CR=\frac{CI}{RI}$$
当CR < 0.10 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。

1.4 层次总排序及一致性检验

  首先确定准则层对于目标层的权向量${\omega }_0$，由于目标层的数量是一个，所以准则层对于目标层的权向量也是一个。先找到准则层的判断矩阵的最大特征值对应的特征向量，然后将此特征向量标准化，使其中的值分布在0和1之间，得到的结果就是准则层对于目标层的权向量；然后确定方案层对于准则层的权向量${\omega }_1$，由于准则层有5个指标，所以方案层对于准则层的权向量也是5个，使用同样的方法即可确定方案层对于准则层的5个权向量${\omega }_{11},{\omega }_{12},{\omega }_{13},{\omega }_{14},{\omega }_{15}$，即${\omega }_1=[{\omega }_{11},{\omega }_{12},{\omega }_{13},{\omega }_{14},{\omega }_{15}]$；最后使用方案层对于准则层的权向量 与准则层对于目标层的权向量 加权平均，即可得到方案层4个方案的得分。
  对层次总排序也需作一致性检验，总排序随机一致性比例为
$$CR=\frac{{\sum }_{j=1}^{m}CI(j){\omega }_0(j)}{{\sum }_{j=1}^{m}RI(j){\omega }_0(j)},j=1,\cdots m$$
  其中m为准则层的个数。

2. 模型求解

利用Matlab编程求解得到准则层对于目标层的权向量${\omega }_0$为

0.2320，0.1094，0.3721，0.2189，0.0675

方案层对于准则层的权向量${\omega }_1$为

w1 = 4×5

0.4379    0.2437    0.3890    0.4385    0.3452

0.2437    0.2190    0.3609    0.1096    0.1850

0.0994    0.4379    0.1323    0.2652    0.0997

0.2190    0.0994    0.1177    0.1866    0.3701

准则层各指标的一致性检验结果为
cr1 = 1×5

0.0076    0.0076    0.0727    0.0225    0.0038

均小于0.1，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
  层次总排序得分为0.3923，0.2513，0.1850，0.1850，总排序一致性检验结果为0.0349<0.1，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。
  Matlab程序如下：

clc,clear 
fid=fopen('ahp.txt','r'); 
n1=5;n2=4; 
a=[]; 
for i=1:n1 
 tmp=str2num(fgetl(fid));
 a=[a;tmp]; %读准则层判断矩阵
end 
for i=1:n1 
 str1=char(['b',int2str(i),'=[];']);
 str2=char(['b',int2str(i),'=[b',int2str(i),';tmp];']);
 eval(str1);
 for j=1:n2 
 tmp=str2num(fgetl(fid));
 eval(str2); %读方案层的判断矩阵
 end
 end 
ri=[0,0,0.58,0.90,1.12,1.24,1.32,1.41,1.45]; %一致性指标
[x,y]=eig(a) %求特征值
lamda=max(diag(y))
num=find(diag(y)==lamda)
w0=x(:,num)/sum(x(:,num))
cr0=(lamda-n1)/(n1-1)/ri(n1); 
for i=1:n1 
 [x,y]=eig(eval(char(['b',int2str(i)]))); 
 lamda=max(diag(y)); 
 num=find(diag(y)==lamda); %最大特征值
 w1(:,i)=x(:,num)/sum(x(:,num))%准则层权值 
 cr1(i)=(lamda-n2)/(n2-1)/ri(n2); %准则层一致性比例
end 
cr1, ts=w1*w0, cr=cr1*w0