想要精通算法和SQL的成长之路 - 最长回文子序列

想要精通算法和SQL的成长之路 - 最长回文子序列

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前言

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一. 最长回文子序列

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首先,我们看下动态规划方程的定义,我们用dp[i][j] 来代表:字符串s在下标区间为[i,j]之间的最长回文子序列。

那么请问,最终的返回结果,就是我们要求得字符串s的最长回文子序列,那也就是求得dp[0][len-1]的值。那么自然而然的,我们就需要自底向上的去递归。

  • 第一层循环:下标为left,范围:[0,len-1],我们从后往前遍历。
  • 第二层循环:下标为right,范围[left+1,len-1],从前往后遍历。

试想一下,第一层为啥要从后往前遍历?我们反过来想一下,如果从左往右遍历,那么第一层的第一次循环,left就是0,那么dp[0][len-1]是不是在第二层循环的末尾就直接算出来了?此时没有走完所有的场景。

那么写成代码就是:

for (int left = len - 1; left >= 0; left--) {
    for (int right = left + 1; right < len; right++) {
    }
}

紧接着,循环的时候,递归方程怎么写?根据题目意思,我们针对leftright对应的字符串分三种情况:

  • 如果s.charAt(left) == s.charAt(right)dp[left][right] = dp[left + 1][right - 1] + 2;
    想要精通算法和SQL的成长之路 - 最长回文子序列_第2张图片
  • 否则,左右两端不相等,那么此时左侧left的字符我们视为删除: dp[left][right] = dp[left + 1][right] ,要么右侧right的字符我们视为删除: dp[left][right] = dp[left][right - 1] ,两者取最大值。

因为我们的dp动态规划方程定义的是区间内的最大子序列长度,所以我们一定要做到区间的全覆盖性。我们必须选择左侧或者右侧的最近字符,并纳入计算。

最后还要注意一点的就是:回文子序列的最短长度是1,即单字符本身,我们要在每次外侧循环的时候,给个初始值。dp[left][left] = 1;

最后成代码就是:

public class Test516 {
    public int longestPalindromeSubseq(String s) {
        int len = s.length();
        int[][] dp = new int[len][len];
        for (int left = len - 1; left >= 0; left--) {
            dp[left][left] = 1;
            for (int right = left + 1; right < len; right++) {
                if (s.charAt(left) == s.charAt(right)) {
                    dp[left][right] = dp[left + 1][right - 1] + 2;
                } else {
                    dp[left][right] = Math.max(dp[left + 1][right], dp[left][right - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][len - 1];
    }
}

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