二叉树（包含红黑树）简单概念

参考博客：传送门

目录

二叉树

满二叉树

完全二叉树

平衡二叉树（ALV树）

B树

B+树

红黑树（自平衡二叉树）

1. 左旋

2. 右旋 

添加

删除

二叉树性质

一般二叉树性质

完全二叉树性质

---

二叉树

是树的特殊一种，具有如下特点：

1、每个结点最多有两颗子树，结点的度最大为2。

2、左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。

3、即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树。

满二叉树

所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树。就是完美圆满的意思，关键在于树的平衡。

根据满二叉树的定义，得到其特点为：

1. 叶子只能出现在最下一层。
2. 非叶子结点度一定是2.
3. 在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子树最多。

完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序排号，如果编号为i的结点与同样深度的满二叉树编号为i结点在二叉树中位置完全相同，就是完全二叉树。满二叉树必须是完全二叉树，反过来不一定成立。

结合完全二叉树定义得到其特点：

1. 叶子结点只能出现在最下一层（满二叉树继承而来）
2. 最下层叶子结点一定集中在左 部连续位置。
3. 倒数第二层，如有叶子节点，一定出现在右部连续位置。
4. 同样结点树的二叉树，完全二叉树的深度最小（满二叉树也是对的）。

平衡二叉树（ALV树）

其左右子树的高度只差的绝对值不超过1，且其子树也都是平衡二叉树

B树

B树中所有结点的孩子结点最大值称为B树的阶，通常用m表示。

 特征

根节点至少有两个孩子
每个中间节点都包含k-1个元素和k个孩子，其中ceil(m/2) <= k <= m
所有叶子节点位于同一层
每个节点的元素升序排列

B树主要用于文件系统以及部分数据库索引，例如： MongoDB。

而大部分关系数据库则使用B+树做索引，例如：mysql数据库

B+树

一个m阶的B+树具有如下几个特征：

节点的子树个数和元素数相等，且每个元素只用来索引，所有的数据都保存在叶子节点
叶子节点的数据顺序排列
所有中间节点元素都存在于子节点中，在其元素是最大或最小

B+树通常有两个指针，一个指向根结点，另一个指向关键字最小的叶子结点。

因此，对于B+树进行查找两种运算：
一种是从最小关键字起顺序查找
另一种是从根结点开始，进行随机查找。
 

B+树相比B树的优势：

1. 单一节点存储更多的元素，使得查询的IO次数更少；
2. 所有查询都要查找到叶子节点，查询性能稳定；
3. 所有叶子节点形成有序链表，便于范围查询。

红黑树（自平衡二叉树）

特点：
中序遍历单调不减
根节点是黑色
每个叶子节点（即不存在的空节点）为黑色
每个红色节点的子节点都是黑色，也就是说叶子节点到根节点不能有两个连续的红色节点
每个叶子节点到根节点的黑色节点个数一样

红黑树的时间复杂度为: O(lgn)

1. 左旋

2. 右旋 

添加

首先，将红黑树当作一颗二叉查找树，将节点插入；

然后，将节点着色为红色；

最后，通过旋转和重新着色等方法来修正该树，使之重新成为一颗红黑树。 

删除

首先，将红黑树当作一颗二叉查找树，将该节点从二叉查找树中删除；

然后，通过"旋转和重新着色"等一系列来修正该树，使之重新成为一棵红黑树。

二叉树性质

一般二叉树性质

1、在非空二叉树的i层上，至多有2^(i-1)个节点(i>=1)。

2、在深度为K的二叉树上最多有2^(k-1)个结点（k>=1)。

3、对于任何一棵非空的二叉树，如果叶节点个数为n0，度数为2的节点个数为n2，则有: n0 = n2 + 1

在一棵二叉树中，除了叶子结点（度为0）之外，就剩下度为 2(n2) 和 1(n1) 的结点了。则树的结点总数为T = n0 + n1 + n2；在二叉树中结点总数为T，而连线数为T-1。所以有：n0 + n1 + n2 - 1 = 2 * n2 + n1；最后得到 n0 = n2 + 1。

完全二叉树性质

具有n个结点的完全二叉树的深度为log2(n) + 1.

---

如有错误或不合理的地方，敬请指正~

加油！！