games101作业1

题目

给定三维下三个点 v0(2.0, 0.0, −2.0), v1(0.0, 2.0, −2.0), v2(−2.0, 0.0, −2.0), 你需要将这三个点的坐标变换为屏幕坐标并在屏幕上绘制出对应的线框三角形 (在代码框架中，我们已经提供了 draw_triangle 函数，所以你只需要去构建变换矩阵即可)。简而言之，我们需要进行模型、视图、投影、视口等变换来将三角形显示在屏幕上。在提供的代码框架中，我们留下了模型变换和投影变换的部分给你去完成。

题解

本次作业需要实现代码框架中的两个接口：

Eigen::Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle);
Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,float zNear, float zFar);

1. 旋转

第一个接口相对比较简单，直接返回旋转矩阵即可。注意：需要将角度转为弧度。
绕Z轴旋转矩阵如下：
R z ( α ) = ( cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_z(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) Rz​(α)= ​cosαsinα00​−sinαcosα00​0010​0001​ ​
课程中还讲到了绕X 轴的旋转矩阵
R x ( α ) = ( 1 0 0 0 0 cos ⁡ α − sin ⁡ α 0 0 sin ⁡ α cos ⁡ α 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_x(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) Rx​(α)= ​1000​0cosαsinα0​0−sinαcosα0​0001​ ​
绕Y轴的旋转矩阵( 注意这里的sin符号和其他两种情况不同，是因为右手坐标系，从+x->+z旋转，Y轴和拇指方向相反)
R y ( α ) = ( cos ⁡ α 0 sin ⁡ α 0 0 1 0 0 − sin ⁡ α 0 cos ⁡ α 0 0 0 0 1 ) \mathbf{R}_y(\alpha)=\left(\begin{array}{cccc} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) Ry​(α)= ​cosα0−sinα0​0100​sinα0cosα0​0001​ ​
角度转为弧度：
$$\alpha =\theta \frac{\pi }{180}$$

2. 正交投影

根据课程中的推导过程：其中$z\in [-1,1]$，采用右手坐标系。观察变换完成后，将物体投影到相机坐标系中。然后在相机坐标系中进行投影变换：正交投影或者透视投影。正交投影的基本思想是：将长方体视窗体平移到原点，然后进行缩放，使得：$x,y,z\in [-1,1]$
假设长方体视窗体的左右上下前后六个面的坐标分别为：$l,r,t,b,n,f$. 正交投影矩阵如下：
M ortho  = [ 2 r − l 0 0 0 0 2 t − b 0 0 0 0 2 n − f 0 0 0 0 1 ] [ 1 0 0 − r + l 2 0 1 0 − t + b 2 0 0 1 − n + f 2 0 0 0 1 ] = [ 2 r − l 0 0 − r + l r − l 0 2 t − b 0 − t + b t − b 0 0 2 n − f − n + f n − f 0 0 0 1 ] M_{\text {ortho }}=\left[\begin{array}{cccc} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & -\frac{r+l}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{t+b}{2} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{n+f}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & -\frac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] Mortho ​= ​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​0001​ ​ ​1000​0100​0010​−2r+l​−2t+b​−2n+f​1​ ​= ​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​−r−lr+l​−t−bt+b​−n−fn+f​1​ ​

3.透视投影

透视投影可以看作是将视锥体的大端进行压缩成长方体视窗体。透视投影矩阵可以写成如下形式：
$$M_{\text{persp }}=M_{\text{ortho }}{M}_{\text{persp }\to \text{ ortho }}$$
压缩过程需要满足以下两个条件：
1.所有近平面的坐标不发生改变
2.远平面的z坐标不发生改变。
教程中根据上述条件可以推出
M persp  →  ortho  = ( n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ) M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}=\left(\begin{array}{cccc} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right) Mpersp → ortho ​= ​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​ ​
所以投影矩阵如下：
M persp  = M ortho  M persp  →  ortho  = [ 2 r − l 0 0 − r + l r − l 0 2 t − b 0 − t + b t − b 0 0 2 n − f − n + f n − f 0 0 0 1 ] [ n 0 0 0 0 n 0 0 0 0 n + f − n f 0 0 1 0 ] = [ 2 n r − l 0 r + l l − r 0 0 2 n t − b t + b b − t 0 0 0 n + f n − f − 2 n f n − f 0 0 1 0 ] M_{\text {persp }}=M_{\text {ortho }} M_{\text {persp } \rightarrow \text { ortho }}= \left[\begin{array}{cccc} \frac{2}{r-l} & 0 & 0 & -\frac{r+l}{r-l} \\ 0 & \frac{2}{t-b} & 0 & -\frac{t+b}{t-b} \\ 0 & 0 & \frac{2}{n-f} & -\frac{n+f}{n-f} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} n & 0 & 0 & 0 \\ 0 & n & 0 & 0 \\ 0 & 0 & n+f & -nf \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]= \left[\begin{array}{cccc} \frac{2n}{r-l} & 0 & \frac{r+l}{l-r} & 0 \\ 0 & \frac{2n}{t-b} & \frac{t+b}{b-t} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{n+f}{n-f} & -\frac{2nf}{n-f} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] Mpersp ​=Mortho ​Mpersp → ortho ​= ​r−l2​000​0t−b2​00​00n−f2​0​−r−lr+l​−t−bt+b​−n−fn+f​1​ ​ ​n000​0n00​00n+f1​00−nf0​ ​= ​r−l2n​000​0t−b2n​00​l−rr+l​b−tt+b​n−fn+f​1​00−n−f2nf​0​ ​
此时投影矩阵就算推导完毕，但是投影接口的参数是：张角$fov$,纵横比$aspect$,近平面到原点的距离$near$,远平面到原点的距离$far$
下面将矩阵中的参数都转为接口中的入参:
一般情况下，长方体视窗体是轴对称，故有 $l=-r,b=-t$,由于从原点看向$-z$方向看去，所以$n=-near,f=-far$
$$\begin{gathered} w=r-l, \\ h=t-b, \\ tan(\frac{fov}{2})=\frac{h/2}{near},aspect=\frac{w}{h}, \end{gathered}$$
故
$$\begin{gathered} h=2\ast near\ast tan(\frac{fov}{2}) \\ w=h\ast aspect=2\ast near\ast tan(\frac{fov}{2})\ast aspect \end{gathered}$$
化简后
M persp  = [ − 1 a s p e c t ∗ t a n ( f o v 2 ) 0 0 0 0 − 1 t a n ( f o v 2 ) 0 0 0 0 n e a r + f a r n e a r − f a r 2 ∗ n e a r ∗ f a r n e a r − f a r 0 0 1 0 ] M_{\text {persp }}=\left[\begin{array}{cccc} -\frac{1}{aspect*tan(\frac{fov}{2})} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{1}{tan(\frac{fov}{2})} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{near+far}{near-far} & \frac{2*near*far}{near-far} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right] Mpersp ​= ​−aspect∗tan(2fov​)1​000​0−tan(2fov​)1​00​00near−farnear+far​1​00near−far2∗near∗far​0​ ​
这个结果和glm库中实现不同

	template<typename T>
	GLM_FUNC_QUALIFIER mat<4, 4, T, defaultp> perspectiveRH_NO(T fovy, T aspect, T zNear, T zFar)
	{
		assert(abs(aspect - std::numeric_limits<T>::epsilon()) > static_cast<T>(0));

		T const tanHalfFovy = tan(fovy / static_cast<T>(2));

		mat<4, 4, T, defaultp> Result(static_cast<T>(0));
		Result[0][0] = static_cast<T>(1) / (aspect * tanHalfFovy);
		Result[1][1] = static_cast<T>(1) / (tanHalfFovy);
		Result[2][2] = - (zFar + zNear) / (zFar - zNear);
		Result[2][3] = - static_cast<T>(1);
		Result[3][2] = - (static_cast<T>(2) * zFar * zNear) / (zFar - zNear);
		return Result;
	}

都是右手坐标系，为什么不同呢？博客对此进行了解释。主要由于glm 是基于$n,f$都是正值进行推导的，同时，glm的透视投影中还进行了NDC坐标转换，而NDC坐标系是左手坐标系。

结果

代码

constexpr double MY_PI = 3.1415926;

inline double DEG2RAD(double deg) { return deg * MY_PI / 180; }
Eigen::Matrix4f get_model_matrix(float rotation_angle)
{
    Eigen::Matrix4f model = Eigen::Matrix4f::Identity();

    double rad = DEG2RAD(rotation_angle);
    model << cos(rad), -sin(rad), 0, 0,
        sin(rad), cos(rad), 0, 0,
        0, 0, 1, 0,
        0, 0, 0, 1;
    return model;
}
Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio,
                                      float zNear, float zFar)
{
    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();

    double rad = DEG2RAD(eye_fov/2);

    projection << -1/(aspect_ratio * tan(rad)),0, 0, 0,
        0, -1/tan(rad), 0, 0,
        0, 0, (zNear+zFar) /(zNear - zFar), 2*zNear*zFar/(zNear - zFar),
        0, 0, 1, 0;

    return projection;
}

如果不转到左手坐标系，在作业2中，结果不对，所以在作业2中使用如下的投影变化代码：

Eigen::Matrix4f get_projection_matrix(float eye_fov, float aspect_ratio, float zNear, float zFar)
{
    // TODO: Copy-paste your implementation from the previous assignment.
    Eigen::Matrix4f projection = Eigen::Matrix4f::Identity();

    double rad = DEG2RAD(eye_fov / 2);

    projection << 1 / (aspect_ratio * tan(rad)), 0, 0, 0,
        0, 1 / tan(rad), 0, 0,
        0, 0, (zNear + zFar) / (zNear - zFar), 2 * zNear * zFar / (zNear - zFar),
        0, 0, -1, 0;

    return projection;
}

参考文献
OpenGL NDC 左手还是右手？
Games101中的透视矩阵和glm::perspective的关系