美赛整理之Matlab的工程数学计算学习笔记（高等数学）

1.极限的定义和判别：

​ 由极限的定义可知：对于给定的$f(x)$,$\forall ϵ>0,\exists \delta >0，$使得：当$|x-x_0|<\delta$时，有$|f(x)-A|<ϵ$成立，那么我们称：$li{m}_{x\to x_0}f(x)=A$。

​ 那么我们的关键就是要给出$\forall ϵ>0$,我们都能求出对应的$\delta$。

matlab的实现

clc,clear;
disp('判断A是否时f(x)的极限值\n');
A= input('请输入A的极限值:\n');
x_c = input('请输入对应的自变量的值：\n');
fxc = input('f(x)的表达式为，例如sin(x)/x\n','s');
delta = 1;n = 1;x = x_c - delta;
flag = 1;p = 1;
while flag == 1
    epsilon = input('请输入一个小鼠:\n');
    while abs(A - eval(fxc))>epsilon 
        delta = delta/2;
       
       if p == 1 
           x = x_c - delta;
       else
           x = x_c + delta;
       end
       
        if abs(delta)

2.绘制特殊曲面

若二次曲面的方程如下：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=d$$
根据$a,b,c$的不同绘制出不同的图形。

在给定$x,y$要求求出$z$时，如果有开方的运算，会出现虚数，而且对于实数也会有两个符号不同的解。为了使得虚数不会出现在绘图中，我们把虚数换成·非数($NaN$)

我们规定：如果一个z值只有只有这一点时虚数，我们就让它为0。如果这个数四周都是虚数，我们就让它时$NaN$

clc,clear;
a = input('a = ');
b = input('b = ');
c = input('c = ');
d = input('d = ');
N = input('划分网格点的数目为：');
xgrid = linspace(-abs(a),abs(a),N);
ygrid = linspace(-abs(b),abs(b),N);
[x,y] = meshgrid(xgrid,ygrid);
z = c*sqrt(d - y.^2/b^2-x.^2/a^2);
u=input('是否要画出全部图像？1：画出\0:不画\n');
z1 = real(z);
for i = 2:N-1
    for j = 2:N-1
        if(imag(z(i,j))~=0)
            z1(i,j) = 0;
        end
        if all(imag(z([i-1:i+1],[j-1:j+1]))~=0)
            z1(i,j) = NaN;
        end
    end
end
surf(x,y,z1);
hold on
if u == 1
    z2 = - z1;
    surf(x,y,z2);
end
axis([-abs(a),abs(a),-abs(b),abs(b),-abs(c),abs(c)]);
xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
hold off

3.求两个空间曲面的交线

求以下两个方程的交线：
$$\begin{gathered} z=x^2-2y^2 \\ z=2x-3y \end{gathered}$$

clc,clear;
[x,y] = meshgrid(-2:0.1:2);
z1 = x.^2 - 2*y.^2;
z2 = 2*x - 3*y;
mesh(x,y,z1);hold on;mesh(x,y,z2);
r0 = (abs(z1-z2)<0.01);
zz = r0.*z1;
yy = r0.*y;
xx = r0.*x;
plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'--');

4.定积分的计算

先建立$example.m$函数。再调用Matlab的函数：$s=quad{(}^{\prime }exampl{e}^{\prime },a,b)$

5.多重积分的计算

1.截面法：

$$\begin{gathered} \int {\int }_D(x^2+y^2)d\sigma \\ D=\{由x=1,y=x,y=0围成的区域\} \end{gathered}$$

clc,clear;
fill([0,1,1,0],[0,0,1,0],'w');
hold on
fill([0.55,0.6,0.6,0.55,0.55],[0,0,0.6,0.55,0],'r');
dx = input('请告诉我输入步长dx = ');
dy = dx;
x = 0:dx:1;
lx = length(x);
f_value = @(x)(x); 
for i = 1:lx
    x1 = (i-1)*dx;
    y1 = 0:dy:f_value(x1);
    ly = length(y1);
    f = (x1*ones(1,ly)).^2+y1.^2;
    s1(i) = trapz(f)*dy;
end
s = trapz(s1)*dx;
disp(s);

答案是$1/3$。

2.定义法

计算：
$$\int \int {\int }_{\Omega }x{y}^2{z}^{3}dxdydz$$
其中：$\Omega$是由$x=1,y=x,z=xy,z=0$围成的区域。

分析·：

（1）先画图：

[x,y] = meshgrid(0:0.05:1);
z1 = x.*y;                       %z1的表面
z2 = zeros(size(z1));            %z2的表面
mesh(x,y,z1);hold on
mesh(x,y,z2);
x1 = [0:0.02:1];
y1 = x1;
sx1 = length(x1);
zd = [zeros(1,sx1);x1.*y1];
line([x1;x1],[y1;y1],zd);
plot3([x1;x1],[y1;y1],zd,'*');
plot3(ones(2,sx1),[y1;y1],[zeros(1,sx1);y1],'o');
xlabel('x');
ylabel('y');
zlabel('z');

（2）分析：

$$\int \int {\int }_{\Omega }f(x,y,z)dV=li{m}_{ma{x}_{\{\Delta V\}}\to 0}\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m\sum _{k=0}^{t}f(x_i,y_j,z_k)d{x}_{i}d{y}_{j}d{z}_k$$

dx = input('dx = ');
dy = dx;dz = dx;
x = 0:dx:1;
for k = 1:length(x)
    x1 = (k-1)*dx;
    y = 0:dy:x1;
    for j = 1:length(y)
        y1 = (j-1)*dy;
        z1  =0:dz:x1.*y1;
        f = x1.*y1.^2.*z1.^3;
        s1(j) = trapz(f)*dz;
    end
    s2(k) = trapz(s1)*dy;
end
s = trapz(s2)*dx;
disp('值是:');
disp(s);

不知道为什么最后的结果和他算的不一样？？？

3.蒙特卡洛法

见博客通俗易懂的Monte Carlo积分方法（二）