用极限定义证明微积分基本定理

用极限定义证明微积分基本定理

基本定理:若 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]内连续,在 [ a , b ] [a,b] [a,b]可积分,那么在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上有:
∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_a^bf(x)dx=F(b) - F(a) abf(x)dx=F(b)F(a)
​ 其中, f ′ ( x ) = F ( x ) f^{'}(x)=F(x) f(x)=F(x)

证明:在这里,我们设:
ϕ ( x ) = ∫ 0 x f ( t ) d t \phi(x) = \int_0^xf(t)dt ϕ(x)=0xf(t)dt
由上面的式子可以知道(定积分的性质):
∫ a b f ( x ) d x = ϕ ( b ) − ϕ ( a ) \int_a^bf(x)dx = \phi(b) - \phi(a) abf(x)dx=ϕ(b)ϕ(a)
现在我们想办法证明 ϕ ′ ( x ) = f ( x ) \phi^{'}(x) = f(x) ϕ(x)=f(x)即可证明微积分基本定理。

​ 由 f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上一致连续有: ∀ ϵ > 0 \forall \epsilon>0 ϵ>0, ∃ δ \exists\delta δ,使得 x ∈ U ( x 0 , δ ) x \in U(x_0,\delta) xU(x0,δ)时都有 ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ϵ |f(x)-f(x_0)|<\epsilon f(x)f(x0)<ϵ成立。其中 x 0 ∈ [ a , b ] x_0 \in [a,b] x0[a,b]。因此当 x ∈ ( x 0 , x 0 + δ ) x \in (x_0,x_0+\delta) x(x0,x0+δ)时有:
− ϵ + f ( x 0 ) < f ( x ) < ϵ + f ( x 0 ) -\epsilon+f(x_0)ϵ+f(x0)<f(x)<ϵ+f(x0)
同时,我们对上面的式子同时积分:
∫ x 0 x ( − ϵ + f ( x 0 ) ) d x < ∫ x 0 x f ( x ) d x < ∫ x 0 x ( ϵ + f ( x 0 ) ) d x \int_{x_0}^x(-\epsilon+f(x_0))dx<\int_{x_0}^xf(x)dx<\int_{x_0}^x(\epsilon+f(x_0))dx x0x(ϵ+f(x0))dx<x0xf(x)dx<x0x(ϵ+f(x0))dx
变形可以得到:
( − ϵ + f ( x 0 ) ) ( x − x 0 ) < ∫ x 0 x f ( x ) d x < ( ϵ + f ( x 0 ) ) ( x − x 0 ) (-\epsilon+f(x_0))(x-x_0)<\int_{x_0}^xf(x)dx<(\epsilon+f(x_0))(x-x_0) (ϵ+f(x0))(xx0)<x0xf(x)dx<(ϵ+f(x0))(xx0)
由我们一开始的定义我们可以知道:
∫ x 0 x f ( x ) d x = ϕ ( x ) − ϕ ( x 0 ) \int_{x_0}^xf(x)dx = \phi(x)-\phi(x_0) x0xf(x)dx=ϕ(x)ϕ(x0)
代入上式可知:
( − ϵ + f ( x 0 ) ) ( x − x 0 ) < ϕ ( x ) − ϕ ( x 0 ) < ( ϵ + f ( x 0 ) ) ( x − x 0 ) (-\epsilon+f(x_0))(x-x_0)<\phi(x)-\phi(x_0)<(\epsilon+f(x_0))(x-x_0) (ϵ+f(x0))(xx0)<ϕ(x)ϕ(x0)<(ϵ+f(x0))(xx0)
变形可以得到:
∣ ϕ ( x ) − ϕ ( x 0 ) x − x 0 − f ( x 0 ) ∣ < ϵ |\frac{\phi(x)-\phi(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)|<\epsilon xx0ϕ(x)ϕ(x0)f(x0)<ϵ
维尔斯特拉斯极限定义:

∀ ϵ > 0 \forall \epsilon>0 ϵ>0, ∃ δ 1 = δ \exists \delta_1 = \delta δ1=δ,即可使得当 x ∈ U ( x 0 , δ 1 ) x \in U(x_0,\delta_1) xU(x0,δ1)时,有 ∣ ϕ ( x ) − ϕ ( x 0 ) x − x 0 − f ( x 0 ) ∣ < ϵ |\frac{\phi(x)-\phi(x_0)}{x-x_0}-f(x_0)|<\epsilon xx0ϕ(x)ϕ(x0)f(x0)<ϵ成立。这说明:
l i m x → x 0 ϕ ( x ) − ϕ ( x 0 ) x − x 0 = ϕ ′ ( x 0 ) = f ( x 0 ) lim_{x \rightarrow x_0}\frac{\phi(x)-\phi(x_0)}{x-x_0} = \phi^{'}(x_0)=f(x_0) limxx0xx0ϕ(x)ϕ(x0)=ϕ(x0)=f(x0)
f ( x ) f(x) f(x) [ a , b ] [a,b] [a,b]上一致连续且可积。因此 ∀ x ∈ [ a , b ] \forall x \in [a,b] x[a,b],有:
ϕ ′ ( x ) = f ( x ) \phi^{'}(x)=f(x) ϕ(x)=f(x)
证毕。

总结:我觉得微积分基本定理只有当完全依靠函数极限的定义证明时候,才是最简洁也是最直接的明。说白了,我觉得是极限的定义本身已经不仅仅是一种定义,而是我们描述和求解分析学最一般的数学定律的基本武器。

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