前言
这是一篇偏综合性的总结，根据笔者的 routine 整理好的，并对代码进行了改进。以下内容出处均已在 参考资料 中列出，如有侵权，联系笔者删除。
思维导图
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前置知识
本质原因
计算机是二进制的，无法直接表示正负数，另外在计算机内部直接实现减法，也会影响计算机效率，所以人们希望要找到一种既能使用二进制表示10进制正负数的编码格式，同时这种编码格式又能满足将减法转换成加法进行运算。
原码、反码和补码
原码
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反码
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补码
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总结
要想弄清楚补码，必须要弄清楚补码要解决的问题，计算机是二进制的，无法直接表示正负数，另外在计算机内部直接实现减法，也会影响计算机效率，所以人们希望要找到一种既能使用二进制表示10进制正负数的编码格式，同时这种编码格式又能满足将减法转换成加法进行运算，同时满足这两个条件有反码和补码，但由于反码中的0有两个编码格式，另外反码加法运算也比较复杂，慢慢地反码被淘汰了。补码刚好解决了反码的两个缺点，所以补码成了现代计算机的通用编码。
IEEE 754标准
背景
随着技术的更新，在1978年的时候，Intel公司推出了首枚16bit微处理器(CPU)8086。这台x86的老祖宗虽然自身无法处理小数的运算，但是在编译器层面可以通过用整数指令模拟出小数的运算，不过这种运算的方式效率是非常低的。
为了解决这类问题，1980年Intel公司推出了首款x87浮点协处理器运算单元(FPU)8087，通过主板上额外的协处理器插槽，安装后不仅可以解决小数的运算问题，并且对于不同的应用，性能提升了20%~500%。
对于计算机发展来说，8087是款非常棒的FPU，但是它的意义真正体现在这款FPU的设计师之一的William Kahan教授设计了IEEE-754标准的雏形，而正是因为这套标准，我们计算机才能精准的处理小数。
1985年时，IEEE推出了IEEE 754-1985标准，随着大佬们的努力，IEEE还推出了目前的版本——IEEE 754-2008。
而我们使用的高级语言中浮点数的运算，如C、C++、JavaScript、Java都是基于这个标准而定。
概念
image.png
image.png
或
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也叫
image.png
概念
JavaScript的数字类型的本质就是一个基于 IEEE 754 标准的双精度 64 位的浮点数。
小数运算（为什么0.2 + 0.1 !== 0.3？）
概述
- 0.1 和 0.2 按照 IEEE 754 存储后都有精度损失
- 运算后进行规格化时的舍入操作也有精度损失
详解
关于浮点数的运算，一般由以下五个步骤完成：对阶、尾数运算、规格化、舍入处理、溢出判断。
image.png
将它转换为10进制数就得到
0.30000000000000004440892098500626因为两次存储时的精度丢失加上一次运算时的精度丢失，最终导致了 0.1 + 0.2 !== 0.3
解决方案
number-precision
全面总结 JS 中浮点数运算问题 - 掘金
大数运算如何处理？
现成方案
1.bignumber.js
2.true-json-bigint.js
3.BigInt - JavaScript | MDN
image.png
大数运算
核心思想
大数相加
普通版本
/**
* @param {string} a
* @param {string} b
* @return {number}
*/
function add(a, b) {
// 首先检查传来的大数是否是字符串类型，如果传Number类型的大数，在传入的时候已经丢失精度了，
// 就如 如果传入11111111111111111，处理的时候已经是丢失精度的11111111111111112了，则需要传入
// 字符串类型的数字 '11111111111111111'
const checkNum = num => typeof num === "string" && !isNaN(Number(num))
// 格式化数字
const formatNum = num => (isNaN(+num) ? 0 : +num)
if (!checkNum(a) || !checkNum(b)) {
throw new TypeError("Big Number Type Error")
}
const result = []
a = a.split("").reverse()
b = b.split("").reverse()
const length = Math.max(a.length, b.length)
let carry = 0
// 以较长的数字为基准进行从前往后逐个加和，为避免两个数相加最高位进位后，导
// 致结果长度大于两个数字中的长度，for循环加和长度为最长数字长度加一
for (let i = 0; i <= length; i++) {
const tempResult = formatNum(a[i]) + formatNum(b[i]) + carry
result[i] = tempResult % 10
// 当加和的数字大于10的情况下，进行进位操作，将要进位的数字赋值给temp，在下一轮使用
carry = Math.trunc(tempResult / 10)
}
// 计算完成，反转回来
result.reverse()
// 将数组for中多加的一位进行处理，如果最高位没有进位则结果第一个数位0，
// 结果第一个数位1，则发生了进位。 如99+3，最大数字长度位2,结果数长度位3
// 此时结果的第一位为1，发生了进位，第一位保留，如果是2+94，第一位为0，则不保留第一位
return result.join('').replace(/^0+/, "")
}
奇技淫巧版
/**
* @param {string} a
* @param {string} b
* @return {number}
*/
function add(a, b) {
const checkNum = num => typeof num === "string" && !isNaN(Number(num))
if (!checkNum(a) || !checkNum(b)) {
throw new TypeError("Big Number Type Error")
}
let result = ""
let c = 0
a = a.split("")
b = b.split("")
while (a.length || b.length || c) {
// ~取反操作符，~0 === -1, ~~0 === 0, ~~null === 0, ~~undefined === 0, ~~'0' === 0
// 用+也能实现字符转成数字，不过~~能处理null的情况
c = ~~a.pop() + ~~b.pop() + c
result += c % 10
// c>0会返回一个布尔值，布尔值转换成数字的时候true为1，false为0
c = c > 9
}
return result.replace(/^0+/, "")
}
优化版
/**
* @param {string} a
* @param {string} b
* @return {number}
*/
function add(a, b) {
const checkNum = num => typeof num === "string" && !isNaN(Number(num))
if (!checkNum(a) || !checkNum(b)) {
throw new TypeError("Big Number Type Error")
}
// 主要思想是分开一段段加，这样既能保证精度且不溢出，也能提高速度
// 如果索引超范围，或者长度小于1那么返回空字符串
const MAX_PERCISION = Number.MAX_SAFE_INTEGER.toString().length - 1
const arr = []
while (a.length || b.length) {
arr.push(
parseInt(a.substring(a.length - MAX_PERCISION) || 0, 10) +
parseInt(b.substring(b.length - MAX_PERCISION) || 0, 10)
)
a = a.substring(0, a.length - MAX_PERCISION)
b = b.substring(0, b.length - MAX_PERCISION)
}
let carry = 0
let result = ""
while (arr.length) {
const temp = (arr.shift() + carry).toString()
result = temp.substring(temp.length - MAX_PERCISION) + result
carry = parseInt(
temp.substring(0, temp.length - MAX_PERCISION) || 0,
10
)
}
return result
}
// 简化 =>
/**
* @param {string} a
* @param {string} b
* @return {number}
*/
function add(a, b) {
const checkNum = num => typeof num === "string" && !isNaN(Number(num))
if (!checkNum(a) || !checkNum(b)) {
throw new TypeError("Big Number Type Error")
}
const MAX_PERCISION = Number.MAX_SAFE_INTEGER.toString().length - 1
let result = ""
let carry = 0
while (a.length || b.length) {
const temp = (
parseInt(a.substring(a.length - MAX_PERCISION) || 0, 10) +
parseInt(b.substring(b.length - MAX_PERCISION) || 0, 10) +
carry
).toString()
result = temp.substring(temp.length - MAX_PERCISION) + result
carry = parseInt(
temp.substring(0, temp.length - MAX_PERCISION) || 0,
10
)
a = a.substring(0, a.length - MAX_PERCISION)
b = b.substring(0, b.length - MAX_PERCISION)
}
return result
}
大数相减
奇技淫巧版
/**
* @param {string} a
* @param {string} b
* @return {number}
*/
function minus(a, b) {
const checkNum = num => typeof num === "string" && !isNaN(Number(num))
if (!checkNum(a) || !checkNum(b)) {
throw new TypeError("Big Number Type Error")
}
while (a.length < b.length) {
a = "0" + a
}
while (b.length < a.length) {
b = "0" + b
}
let result = ""
let borrow = false
a = a.split("")
b = b.split("")
while (a.length) {
const minuend = ~~a.pop()
const subtrahend = ~~b.pop() + borrow
if (minuend >= subtrahend) {
borrow = minuend - subtrahend
result = borrow + result
borrow = false
} else {
borrow = minuend + 10 - subtrahend
result = borrow + result
borrow = true
}
//判断最高位有无借位，若有借位，则说明结果为负数
if (a.length === 0 && borrow) {
result = "-" + result
}
}
result = result.replace(/^0+/, "")
//判断最后的结果是否为0
if (result === "") {
result = 0
}
return result
}
大数相乘
目前大数乘法算法主要有以下几种思路：
- 模拟小学乘法：最简单的乘法竖式手算的累加型；
- 分治乘法：最简单的是Karatsuba乘法，一般化以后有Toom-Cook乘法；
- 快速傅里叶变换FFT：（为了避免精度问题，可以改用快速数论变换FNTT），时间复杂度O(N lgN lglgN)。具体可参照Schönhage–Strassen algorithm；
- 中国剩余定理：把每个数分解到一些互素的模上，然后每个同余方程对应乘起来就行；
- Furer’s algorithm：在渐进意义上FNTT还快的算法。不过好像不太实用，本文就不作介绍了。大家可以参考维基百科Fürer’s algorithm
模拟小学乘法版
/**
* @param {string} a
* @param {string} b
* @return {string}
*/
function multiply(a, b) {
const cn = a.length + b.length
const c = new Array(cn).fill(0)
/****
* 两两相乘，并放进不同的格子里，如果里面有东西，则相加
* 0
* 8
* 10
* 4
* 5
*/
for (let i = 0; i < a.length; i++) {
for (let j = 0; j < b.length; j++) {
c[i + j + 1] += Number(a[i]) * Number(b[j])
}
}
// 处理进位
for (let i = cn - 1; i >= 0; i--) {
const carry = Math.trunc(c[i] / 10)
if (carry) {
c[i - 1] += carry
}
c[i] = c[i] % 10
}
while (c[0] === 0) {
c.shift()
}
//处理最前面的零
return c.join("") || "0"
}
利用下标取巧版
/**
* @param {string} a
* @param {string} b
* @return {string}
*/
function multiply(num1, num2) {
const checkNum = num => typeof num === "string" && !isNaN(Number(num))
if (!checkNum(a) || !checkNum(b)) {
throw new TypeError("Big Number Type Error")
}
let len1 = a.length,
len2 = b.length
let ans = []
//这里倒过来遍历很妙,不需要处理进位了
for (let i = len1 - 1; i >= 0; i--) {
for (let j = len2 - 1; j >= 0; j--) {
let index1 = i + j,
index2 = i + j + 1
let mul = a[i] * b[j] + (ans[index2] || 0)
ans[index1] = Math.floor(mul / 10) + (ans[index1] || 0)
ans[index2] = mul % 10
}
}
//去掉前置0
let result = ans.join("").replace(/^0+/, "")
//不要转成数字判断，否则可能会超精度！
return !result ? "0" : result
}
大数相除
/**
* @param {string} a
* @param {string} b
* @return {string}
*/
function divide(a, b) {
const checkNum = num => typeof num === "string" && !isNaN(Number(num))
if (!checkNum(a) || !checkNum(b)) {
throw new TypeError("Big Number Type Error")
}
const alen = a.length
const blen = b.length
let quotient = 0
let remainder = 0
const result = []
let temp = 0
for (let i = 0; i < alen; i++) {
temp = remainder * 10 + parseInt(a[i])
if (temp < b) {
remainder = temp
result.push(0)
} else {
quotient = parseInt(temp / b)
remainder = temp % b
result.push(quotient)
}
}
return [result.join("").replace(/\b(0+)/gi, ""), remainder] //结果返回[商，余数]
}
大数阶乘
function fact(num) {
let result = 1
for(let i=1; i<=num; i++){
result = result * i
}
return result
}
// =>
function fact(num) {
const checkNum = num => typeof num === "string" && !isNaN(Number(num))
if (!checkNum(num)) {
throw new TypeError("Big Number Type Error")
}
let result = "1"
for (let i = "1"; lte(i, num); i = add(i, "1")) {
result = multiply(result, i)
}
return result
}
function lte(num1, num2) {
if (num1.length < num2.length) {
return true
} else if (num1.length === num2.length) {
return num1 <= num2
} else {
return false
}
}
参考资料
- 原码、反码、补码的产生、应用以及优缺点有哪些？
- 原码, 反码, 补码 详解 - ziqiu.zhang - 博客园
- IEEE-754标准与浮点数运算C/C++马骏超的博客-CSDN博客
- JavaScript 深入之浮点数精度 - 掘金
- 为什么不要在 JavaScript 中使用位操作符？ | 咀嚼之味
- [每日一题] JavaScript面试之“大数相加”运算 - 云+社区 - 腾讯云
- A comparison of BigNumber libraries in JavaScript
- 谈谈JS中的大数运算 | 前端脚印
- 有趣的大数运算
- JavaScript实现大整数减法_JavaScript_xiaoxiaoyoumeng的博客-CSDN博客
- js实现大数相乘 - 个人文章 - SegmentFault 思否
- [leetcode] 大数乘法
- 【算法】大数乘法问题及其高效算法 | iTimeTraveler