位图原理及实现

位图概念

给40亿个不重复的无符号整数，没排过序。给一个无符号整数，如何快速判断一个数是否在这40亿个数中。

对于上面这道题大多数人都会想到用遍历和二分查找的方法去解决，但是会存在一个问题，40亿个unsigned int类型的整数，所占内存空间大约在16G左右了，这样大的空间内存当中是放不下的，那么应该怎么办呢？

我们可以用位图来解决这个问题：

我们会发现无符号整数有2^ 32 个，而我们如果以bit位来计量的话，就只需要 2^32个bit位，也就是512MB的空间，内存当中是可以进行存储的，那么我们该如何进行操作呢？

我们需要判断的是一个数在不在，我们就假设存在bit位就是1，不存在bit位就是0，我们以char类型来进行划分，一个char类型数据就占8个bit位，如下图所示：

位图实现

构造函数

一个char类型型有8个比特位，因此N个位的位图就需要用到N/8个，但是实际我们所需的整型个数是N/8+1，因为所给非类型模板参数N的值可能并不是8的整数倍。

例如：N=27，N/8+1 = 3+1 = 4;

template<size_t N>
class bitset
{
public:
	//构造函数
	bitset()
	{
		_bits.resize(N / 8 + 1, 0);
	}

private:
	vector<char> _bits;
};

set成员函数

set成员函数用于设置位，设置位的方法如下：

1. 计算 x 位所在的第 i 个位置所占的第 j 个bit位；
2. 将1左移 j 位后与第 i 个位置进行 | 运算即可；
   

void set(size_t x)
{
	size_t i = x / 8;
	size_t j = x % 8;
	//计算x位所在的第i个位置所占的第j个bit位

	_bits[i] |= (1 << j);
	//将该设置为1 
}

reset成员函数

reset成员函数用于清空位，清空位方法如下：

1. 计算 x 位所在的第 i 个位置所占的第 j 个bit位；
2. 将1左移 j 位再按位取反后与第 i 个位置进行 & 运算即可。
   

void reset(size_t x)
{
	size_t i = x / 8;
	size_t j = x % 8;
	//计算x位所在的第i个位置所占的第j个bit位

	_bits[i] &= ~(1 << j);
	//将该设置为0
}

test成员函数

test成员函数用于获取位的状态，方法如下：

1. 计算x位所在的第 i 个位置所占的第 j 个bit位；
2. 将1左移 j 位后与第 i 个位置进行 & 运算得出结果。
3. 若结果非0，则该位被设置，否则该位未被设置。
   

bool test(size_t x)
{
	size_t i = x / 8;
	size_t j = x % 8;
	//计算x位所在的第i个位置所占的第j个bit位

	return _bits[i] = (1 << j);
}

位图的应用

1. 快速查找某个数据是否在一个集合中；
2. 排序 + 去重；
3. 求两个集合的交集、并集等；
4. 操作系统中磁盘块标记。

我们来看几道题目：

1. 给定100亿个整数，设计算法找到只出现一次的整数？

我们可以将整数标记为3种状态：

• 出现0次；
• 出现1次；
• 出现2次或者2次以上。

一个位只能表示两种状态，而要表示三种状态我们至少需要用两个位，因此我们可以开辟两个位图，这两个位图的对应位置分别表示该位置整数的第一个位和第二个位。

我们可以将着三种状态分别定义为00、01、10，此时当我们读取到重复的整数时，就可以让其对应的两个位按照00→01→10的顺序进行变化，最后状态是01的整数就是只出现一次的整数。

template<size_t N>
class twobitset
{
public:
	void set(size_t x)
	{
		bool insert1 = bt1.test(x);
		bool insert2 = bt2.test(x);
		
		//00
		if (insert1 == false && insert2 == false)
		{
			//->01
			bt2.set(x);
		}
		else if (insert1 == false && insert2 == true)
		{
			//->10
			bt1.set(x);
			bt2.reset(x);
		}
	}

	void print_once_num()
	{
		for (size_t i = 0; i < N; i++)
		{
			if (bt1.test(i) == false && bt2.test(i) == true)
			{
				cout << i << endl;
			}
		}
	}
private:
	bitset<N> bt1;
	bitset<N> bt2;
};

2. 给两个文件，分别有100亿个整数，我们只有1G内存，如何找到两个文件的交集？

方案一：（一个位图需要512M内存）

• 依次读取第一个文件中的所有整数，将其映射到一个位图。
• 再读取另一个文件中的所有整数，判断在不在位图中，在就是交集，不在就不是交集。

方案二：（两个位图刚好需要1G内存，满足要求）

• 依次读取第一个文件中的所有整数，将其映射到位图1。
• 依次读取另一个文件中的所有整数，将其映射到位图2。
• 将位图1和位图2进行与操作，结果存储在位图1中，此时位图1当中映射的整数就是两个文件的交集。

3. 一个文件有100亿个整数，1G内存，设计算法找到出现次数不超过2次的所有整数。

该题跟题目一的做法一样，我们将数据标记为4种状态：

• 出现0次。
• 出现1次。
• 出现2次。
• 出现2次以上。

template<size_t N>
class twobitset
{
public:
	void set(size_t x)
	{
		bool insert1 = bt1.test(x);
		bool insert2 = bt2.test(x);
		
		//00
		if (insert1 == false && insert2 == false)
		{
			//->01
			bt2.set(x);
		}
		else if (insert1 == false && insert2 == true)
		{
			//->10
			bt1.set(x);
			bt2.reset(x);
		}
		else if (insert1 == true && insert2 == true)
		{
			//->11
			bt1.set(x);
			bt2.set(x);
		}
	}
	void print_twice_num()
	{
		for (size_t i = 0; i < N; i++)
		{
			if ((bt1.test(i) == false && bt2.test(i) == true) || (bt1.test(i) ==true && bt2.test(i) == true))
			{
				cout << i << endl;
			}
		}
	}
private:
	bitset<N> bt1;
	bitset<N> bt2;
};