最优化方法——Matlab实现黄金分割法一维搜索
文章目录
-
- 黄金分割法一维搜索原理
-
- 算法流程：
- Matlab代码
-
- 命令行窗口结果打印：
- 《最优化方法》教材上写成表的答案：
- 黄金分割法的一些性质
黄金分割法一维搜索原理
若保留区间为[x1,b],我们得到的结果是一致的.
该方法称为黄金分割法,实际计算取近似值: x1=a+0.382(b – a), x2=a+0.618(b – a),
所以黄金分割法又称为0.618法.
黄金分割法每次缩小区间的比例是一致的，每次将区间长度缩小到原来的0.618倍.
算法流程：
黄金分割法也称作0.618法，一维指的是只含有一个未知量的情况。
Matlab代码
用matlab实现黄金分割法求解f(x)=x^2-x+2在（-1,3）上的最小值：
clc,clear,close all;
a = -1; b =3;
ep = 0.08*(b-a);
x = a:0.1:b;
f_x = x.^2-x+2;
plot(x, f_x, 'linewidth', 1.5)
axis([-1, 3, 0, 8])
title('f(x)=x^2-x+2')
grid on;
flag = 0;
cnt = 0;
pause(0.5)
while 1
fprintf('第%d次迭代：\n', cnt)
if flag==0
x2 = a + 0.618*(b-a);
f2 = x2.^2-x2+2;
x1 = a + b - x2;
f1 = x1.^2-x1+2;
fprintf('a = %f, b = %f\n', a, b)
fprintf('x1 = %f, x2 = %f, f1 = %f, f2 = %f\n', x1, x2, f1, f2)
hold on
stem([x2, x1], [f2, f1], '--', 'linewidth', 0.8)
pause(1)
elseif flag==1
x1 = a + b - x2;
f1 = x1.^2-x1+2;
fprintf('a = %f, b = %f\n', a, b)
fprintf('x1 = %f, x2 = %f, f1 = %f, f2 = %f\n', x1, x2, f1, f2)
stem([x2, x1], [f2, f1], '--', 'linewidth', 0.8)
pause(1)
elseif flag==2
x2 = a + 0.618*(b-a);
f2 = x2.^2-x2+2;
fprintf('a = %f, b = %f\n', a, b)
fprintf('x1 = %f, x2 = %f, f1 = %f, f2 = %f\n', x1, x2, f1, f2)
stem([x2, x1], [f2, f1], '--', 'linewidth', 0.8)
pause(1)
end
if abs(b-a)<ep
xb = (a+b)/2;
disp('最优解为：')
fprintf('xb = %f, f(xb) = %f\n', xb, xb.^2-xb+2)
disp('黄金分割法一维搜索完毕.')
break
elseif f1<f2
disp('f1)
b = x2;
x2 = x1;
f2 = f1;
flag = 1;
elseif f1==f2
disp('f1=f2')
a = x1;
b = x2;
flag = 0;
elseif f1>f2
disp('f1>f2')
a = x1;
x1 = x2;
f1 = f2;
flag = 2;
end
cnt = cnt + 1;
end
pause(0.5)
stem(xb, xb^2-xb+2, 'r', 'linewidth', 2)
代码运行有动态效果，这里就不再保存为GIF动图了，可以复制一键运行尝试：
命令行窗口结果打印：
第0次迭代：
a = -1.000000, b = 3.000000
x1 = 0.528000, x2 = 1.472000, f1 = 1.750784, f2 = 2.694784
f1<f2
第1次迭代：
a = -1.000000, b = 1.472000
x1 = -0.056000, x2 = 0.528000, f1 = 2.059136, f2 = 1.750784
f1>f2
第2次迭代：
a = -0.056000, b = 1.472000
x1 = 0.528000, x2 = 0.888304, f1 = 1.750784, f2 = 1.900780
f1<f2
第3次迭代：
a = -0.056000, b = 0.888304
x1 = 0.304304, x2 = 0.528000, f1 = 1.788297, f2 = 1.750784
f1>f2
第4次迭代：
a = 0.304304, b = 0.888304
x1 = 0.528000, x2 = 0.665216, f1 = 1.750784, f2 = 1.777296
f1<f2
第5次迭代：
a = 0.304304, b = 0.665216
x1 = 0.441520, x2 = 0.528000, f1 = 1.753420, f2 = 1.750784
f1>f2
第6次迭代：
a = 0.441520, b = 0.665216
x1 = 0.528000, x2 = 0.579764, f1 = 1.750784, f2 = 1.756362
最优解为：
xb = 0.553368, f(xb) = 1.752848
黄金分割法一维搜索完毕.
>>
《最优化方法》教材上写成表的答案：
黄金分割法的一些性质
1、x1 = a+b-x2;
2、下一次迭代的区间长度是上一个区间长度的0.618倍；
3、如果f1
4、迭代次数和求解精度取决于终止条件 ∣ b − a ∣ < ϵ |b-a|< \epsilon ∣b−a∣<ϵ中 ϵ \epsilon ϵ的大小。