微分几何笔记(3) —— Frenet标架及Frenet方程组

本篇就算正式进入微分几何的大门了。来讲讲Frenet标架(Frenet Frame)这个在19世纪中期就已经被提出的“古老”想法。

3.1 Frenet标架

Definition 3.1.1记$c:I\to {\mathbb{R}}^n$为一条参数曲线。
i) n维活动标架(moving n-frame)是n个可微映射$$e_i:I\to {\mathbb{R}}^n,1\le i\le n$$其中 $e_i$ 满足 $\forall t\in I,e_i(t)\cdot e_j(t)={\delta }_{ij}$，这里${\delta }_{ij}$是克罗内克记号(Kronecker Delta)，且每个 $e_i(t)$ 都表示一个沿着$c$的向量场。

ii) n维Frenet标架 是指一个n维活动标架，满足，$\forall k,1\le k\le n,c^{(k)}(t)\in \text{span}\{e_1(t),\dots ,e_k(t)\}$.

 

活动标架的想法其实非常自然，如果能在曲线的每一点都找到一个坐标系的话，我就能在曲线的每一个局部更好的描述它，甚至进行一些微积分运算。

但显然这么优良的性质不是所有曲线都能够满足的，于是就增加一些条件，从种类繁多，奇形怪状的曲线中先找出些“好的”曲线继续探索。挺有道理的。这样我们自然而然的就有疑问，这些$\{e_i\}$，我们是从哪找出来的呢？或者说对什么样的曲线我们能够找到这样的标架呢？于是更进一步有了Frenet标架的定义。

 

下面的命题讲述了对于什么样的曲线一定能找到Frenet标架，以及该如何构造这个标架中的$\{e_i\}$.
Proposition 3.1.2（Frenet标架的存在唯一性）$c:I\to {\mathbb{R}}^n$为一条参数曲线。如果 $\forall t\in I,c^{\prime }(t),\dots ,c^{(n-1)}(t)$ 线性无关，那么曲线 $c$ 存在唯一的Frenet标架，且满足如下的性质：
i) $\forall 1\le k\le n-1,c^{\prime }(t),\dots ,c^{(k)}(t)$ 与 $e_1(t),\dots ,e_k(t)$ 定向相同；
ii) $e_1(t),\dots ,e_n(t)$为正定向。
这里，两组基底定向相同是指：从一组基底变换到另一组基底的系数矩阵行列式为正；
正定向是指：这组基和${\mathbb{R}}^n$中我们常说的标准基底定向相同。

Proof:
这里条件的意思就是，我们可以先用Gram-Schmidt正交化，从其线性无关的各阶导数，构造出基底 $\{e_i(t)\}$：
先令$e_1(t)=\frac{c^{\prime }(t)}{|c^{\prime }(t)|}$，因为线性无关，各阶导数的模长不会为0.
假设 $e_1(t),\dots ,e_{j-1}(t),j<n$已经取好，接下来取 $e_j(t)$:
$${\tilde{e}}_j(t)=c^j(t)-\sum _{i=1}^{j-1}(e_i(t)\cdot c^j(t))e_i(t)$$
再将其规范化：$e_j(t)=\frac{{\tilde{e}}_j(t)}{|{\tilde{e}}_j(t)|}$.
这样我们便通过标架的前 $j-1$ 个分量，得到了第 $j$ 个分量。如此反复操作下去，即可得到前 $n-1$ 个分量。

这里 $\{e_i(t)\},1\le i\le n-1$构成了 ${\mathbb{R}}^{n-1}$中的一组基底，只需要再添入一个分量 $e_n(t)$ ，使它扩充为 ${\mathbb{R}}^n$空间中的一组与标准基定向相同的基底，这样我们就得到了Frenet标架。并且这样的操作是可以做到的，比如在三维空间中，知道两个向量，可以通过叉积（cross product)求出与这两个向量都垂直的向量。

因为Gram-Schmidt正交化的系数矩阵是下三角的，且对角线都是所除的模长，所以系数矩阵的行列式恒正，这样命题中要求的性质也就得到了满足。
接下来再说明最后一点，在活动标架中所要求的 $e_i(t),1\le i\le n$是可微的：
前 $n-1$ 个分量由曲线$c$的导数线性组合而成，所以都是可微的；
最后的 $e_n(t)$ 由叉积得到，仍然是由可微函数的加和乘构成，当然还是可微的。
至此我们完成了证明。

 

回过头看定理证明，最主要的原因就是对曲线 $c$ 要求了$\forall t\in I,c^{\prime }(t),\dots ,c^{(n-1)}(t)$ 线性无关这个条件。我们接下来所接触的Frenet标架，都是从这个条件所得来的，这个条件非常的重要，不妨将其称作 Frenet条件。
接下来通过Gram-Schmidt正交化，将其转化为Frenet标架。

也就是$\text{span }\{c^{\prime }(t),\dots ,c^{(i)}(t)\}=\text{span }\{e_1(t),\dots ,e_i(t)\},\forall 1\le i\le n.$

如果明白了线性无关，明白了Gram-Schmidt正交化，那么就应该可以非常直观的理解Frenet标架。

一个问题是，这个导数线性无关的条件，到底是指怎样的曲线呢？先留个疑问。接下来讲讲Frenet方程组(Frenet equations)：
 
 

3.2 Frenet方程组

更进一步，接下来要探寻一些在等距变换和参数变换下的不变量，这会让我们感觉自己离某些本质的东西更近了一些。

Proposition 3.2.1 记 $c(t)$ 的Frenet标架为 $\{e_i(t)\}$ ，则 $${\omega }_{ij}(t)\triangleq e_i^{\prime }(t)\cdot e_j(t)=-{\omega }_{ji}(t),$$ $$e_i^{\prime }(t)=\sum _j{\omega }_{ij}(t)e_j(t),$$并且${\omega }_{ij}(t)=0,\text{如果 }j>i+1.$

Proof:
由正交性$e_i(t)\cdot e_j(t)=0,\forall 1\le i\le n$, 两边求导，$e_i^{\prime }(t)\cdot e_j(t)+e_i(t)\cdot e_j^{\prime }(t)=0$，即证明了命题的第一句话。

接下来由于Frenet标架的性质，也是在前面提到的$e_i(t)\in \text{span }\{c^{\prime }(t),\dots ,c^{(i)}(t)\}$，所以
$e_i^{\prime }(t)\in \text{span }\{c^{\prime }(t),\dots ,c^{(i+1)}(t)\}=\text{span }\{e_1(t),\dots ,e_{i+1}(t)\}$
既然 $e_i^{\prime }(t)$ 只有前 $n+1$ 个Frenet标架分量有关，那么当然对于大于 $i+1$ 的 $j$ 都有$w_{ij}(t)=e_i^{\prime }(t)\cdot e_j(t)=0$，证毕。

 

所以我们看如果用$\{e_i(t)\}$将$\{e^{(i)}(t)\}$表出的话，其系数矩阵，记作 $\omega$，应该是反对称的(skew-symmetric)，且除了次对角线外，起于元素均为0.

这就是Frenet运动方程组：
$$\frac{d}{dt}\left(\begin{array}{c}{e}_1(t)\\ e_2(t)\\ e_3(t)\\ ⋮\\ e_n(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccc}0& {\omega }_{12}& 0& & & \dots & 0\\ -{\omega }_{12}& 0& {\omega }_{23}& & & \dots & 0\\ 0& -{\omega }_{23}& 0& {\omega }_{34}& 0& \dots & 0\\ ⋮& & & & \ddots & \dots & 0\\ 0& & \dots & & 0& & {\omega }_{n-1,n}\\ 0& & \dots & 0& -{\omega }_{n-1,n}& & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{e}_1(t)\\ e_2(t)\\ e_3(t)\\ ⋮\\ e_n(t)\end{array}\right)$$

 
 

Proposition 3.2.2 $\forall 1\le i,j\le n,\frac{{\omega }_{ij}}{|c^{\prime }(t)|}$是等距变换和保定向的参数变换下的不变量。

Proof:
在参数变换下这是不变量，只需要简单的隐函数求导即可。

为了证明是等距变换下的不变量，记 $B:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ 为一个等距变换，其变换矩阵为一个正交矩阵，记作 $R$.
注意每一个${\tilde{e}}_i(t)$都在沿曲线 $\tilde{c}$ 的向量场中，所以可知 $\tilde{c}=B\circ c$ 的Frenet标架为 ${\tilde{e}}_i(t)=R{e}_i(t)$，那么由内积的定义和正交矩阵的性质：
${\tilde{\omega }}_{ij}(t)={\tilde{e}}_i^{\prime }(t)\cdot {\tilde{e}}_j(t)=R{e}_i^{\prime }(t)\cdot R{e}_j(t)=(R{e}_i^{\prime }(t){)}^{\ast }R{e}_j(t)=e_i^{\prime }(t)R^{\ast }R{e}_j(t)=e_i^{\prime }(t)\cdot e_j(t)={\omega }_{ij}$，其中$\ast$表示共轭转置，在实的情况下理解为转置就好。
又因为$|{\tilde{c}}^{\prime }(t)|=|R{c}^{\prime }(t)|=|c^{\prime }(t)|$，所以$\frac{{\omega }_{ij}}{|c^{\prime }(t)|}$不变，证毕。

 

神奇，至此我们发现了一个看起来很有趣的不变量，我们从比较一般的曲线中，似乎发掘出一点金光闪闪的东西。那接下来当然很好奇它的性质，不能放过它，给它命名为曲率，抓着它研究，看它有什么性质。

Definition 3.2.3 记$c:I\to {\mathbb{R}}^n$是一个满足Frenet条件的参数曲线，其第 $i$ 个 $(i=1,2,\dots ,n-1)$ 曲率(curvature) 定义为$${\kappa }_i(t)\triangleq \frac{{\omega }_{i,i+1}}{|c^{\prime }(t)|}.$$

Proposition 3.2.4 在上述定义中，${\kappa }_i(t)>0,i=1,2,\dots ,n-2.$

也就是说，在$c:I\to {\mathbb{R}}^n$这个满足Frenet条件的参数曲线上，定义了 $n-1$ 个曲率，其中前n-2个曲率是恒正的。

Proof:
也就是只要证明前 $n-2$ 个 ${\omega }_{i,i+1}$是恒正的。
还是要从构造方法入手，我们可以写出：
$$e_k=\sum _{l=1}^k{b}_{kl}{c}^{(l)}\text{ and }{c}^{(k)}=\sum _{l=1}^k{a}_{kl}{e}_l,1\le k\le n-1.$$
上式中的 $b_{ij}$ 为正交化矩阵的元素，$a_{ij}$ 是正交化矩阵的逆矩阵中的元素。这里参考了Klingenberg书上的记号，但其实他这里因果反了，不过问题不大。
因为在Gram-Schmidt正交化中，正交化矩阵的对角线是1除以模长（试试写出正交化矩阵），也就是$b_{kk}>0$.下三角矩阵的逆还是下三角的，且有 $a_{kk}=b_{kk}^{-1}>0$.
所有由 ${\omega }_{i,i+1}$ 的定义:
${\omega }_{i,i+1}=e_i^{\prime }\cdot e_{i+1}=b_{ii}{c}^{(i+1)}\cdot e_{i+1}=b_{ii}{a}_{i+1,i+1}>0,1\le i\le n-2.$

其实总而言之，这个性质的来源是在构造Frenet标架时候，我们构造了前 $n-1$ 个标架分量，给了第 $n$ 个分量足够的自由度。

 
 

接下来的两个定理，是非常重的基本定理，能被称为“定理”，显然不知道比“命题”高到哪里去了，虽然有的命题实用性远高于定理。
这两个定理都很直观，证明属于之前所说的严格论证的描述性证明，所以就直接叙述结果吧。（具体证明请参见[1] p13-p15页）

有些时候是这样的，总有人会说数学总是非要证明显而易见的东西。
其实不是的，数学主体并不是围绕着显而易见且琐碎的东西研究（并不否认有个别是这样的），大家更关心的一般是更具有启发性，更有价值的东西，说到底还是数学品味的问题吧，虽然我现在尚且谈不上什么数学品味。

 

Theorem 3.2.5 （存在性定理）(Existence of curves with prescribed curvature functions)   在含 $x_0\in \mathbb{R}$ 的领域内给定了 $n-1$ 个可微函数作为曲率 ${\kappa }_i(s),1\le i\le n-1$，其中前 $n-2$ 个恒大于零。
那么存在一个包含 $x_0$ 的区间 $I$，以及一个弧长参数化曲线$c:I\to {\mathbb{R}}^n$，它满足Frenet条件且曲率恰好为 ${\kappa }_i(s)$。

 

这个定理说明，给定了曲率，我们可以相应的找到一条曲线与之对应，这个定理的证明从Frenet运动方程组出发，由微分方程解的存在唯一性，证明了有解，如果去看书的话要留意一下，他取出的$X(s)$的第一列向量$T(s)$，对它做变上限积分，得到曲线 $c(s)={\int }_{x_0}^{s}T(\tau )d\tau$，这里其实就是把 $T(s)$ 当成了$e_1(t)=\frac{c^{\prime }(t)}{|c^{\prime }(t)|}$.

接下来那么这条曲线是唯一的吗？上面定理只是在解Frenet运动方程组时候用到的微分方程解存在唯一的条件，但不能说明只有这一种构造方法啊。下面的定理给出了回答：

 
Theorem 3.2.6 （唯一性定理）记$c:I\to {\mathbb{R}}^n$ 和 $\tilde{c}:I\to {\mathbb{R}}^n$ 为两条满足Frenet条件的曲线，他们的各个曲率对应相等 ${\kappa }_i(t)={\tilde{\kappa }}_i(t),1\le i\le n-1$，且运动速率相同：$|c^{\prime }(t)|=|{\tilde{c}}^{\prime }(t)|$，那么这两条曲线之间只差一个旋转等距变换，也就是，存在唯一一个等距变换 $B:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^{n}x\mapsto Rx+b$，使得$$\tilde{c}=B\circ c,$$且这里$|R|=1$.

 

证明也不难，因为任意两个单位切向量间存在唯一一个旋转正交变换，满足$$R{e}_i(t_0)={\tilde{e}}_i(t_0),1\le i\le n.$$再利用这个正交阵，找到唯一一个使对应点重合的等距变换$Bc(t_0)=\tilde{c}(t_0)$，接下来再证明这个等距变换对其他任意点都成立即可。

至此，Frenet标架及Frenet方程组就讲到这里。不得不说Frenet标架真是天才般的发明，非常期待微分几何后面会展现什么更有意思的发现。

下一篇主要是一些计算，计算二维三维空间中曲线的曲率，在非弧长参数曲线下该怎么算。
 

[1]W. Klingenberg.   A course in differential geometry.   Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.