方程讲座之草稿

X=1是方程吗?

(100—50)/3=x是方程吗?

3x-3x=1是方程吗?

是:教材给出的定义——含有未知数的等式是方程

不是:这样的讨论,几近文字游戏,对于理解方程思想方法并无裨益,一本正经地专门讨论,毫无必要。

通过此,我们可以看出教材中给出的定义是有问题的。

所有的教科书上都用黑体字写着:“含有未知数的等式叫方程”。然后笔锋一转,就自说自话地改成“含有字母的等式叫方程”了。教科书上用一堆含有字母的代数式,让学生判别:“是不是等式?”、“有没有字母?”来认识方程。闹了半天,没有增加任何对方程概念本质属性的认识,很有点“庸人自扰”的味道。

张奠宙教授认为最明显的漏洞是把“未知数替换成为字母”,成了“含有字母的等式,称为方程”。

首先,将“含有未知数的等式”偷换为“含有字母的等式”在逻辑上是不允许的。其次,“含有字母的等式”种类很多,可以具有不同的意义。这就是说,“含有字母的等式”未必都是方程。方程只是“含有字母的等式”的一种情形。这个所谓的方程定义,在逻辑上“以偏概全”。

方程中的字母是一个特定的数字,叫做根。但是字母可以表示其他的意义。以下是三个例子:

    1.字母泛指任意数。例如,描述加法交换律的式子a + b = b + a , 也是含有字母的等式,但这并不是方程。

     2.字母表示某类数。例如,三角形面积公式d × h,其中d是底边,h是这条底边上的高,这也和方程求未知数没有关系。

     3.字母表示变量。例如,函数也是含有字母的等式:,等等,它们虽然可以看作是某条曲线的方程,但是一旦作为函数进行研究,在意义上是表示两个变量的依赖关系,这与方程求根也是不相同的。

     这就是说,认为“方程是含有字母的一种等式”是可以的,反过来,认为所有“含有字母的等式都是方程”就不对了。“含有字母的等式叫方程”不能当作严格的定义来看待。如果非要拿它当基本出发点来判断是非,硬要人们承认x = 1是方程,恐怕是一种自我折腾,不足为训。

我在这里打一个比方,什么是饭?首先要说的是中国人的主食,满足食欲;其次说“指煮熟了的谷物”。离开了“人”这一因素,只谈“煮熟了的谷类事物”构不成饭的感念。

可见,只描述方程的外貌的定义是不能称为是定义。一个定义,最好是能够帮助人们进行理解的,正如认识一个人,光靠一张照片是不够的,最好有一份简历。好的定义是要能够揭示所定义对象的本质。因此,传统教材中对方程的定义需要修改,且需要突出方程的本质含义。

那方程的定义应该是怎样的呢?方程的本质是什么?

1.方程的由来

通过方程二字的来由说起——方程两个字,西方是没有的,西方有的只是“等式”,英文是equation。方程两个字是来源于我国的《九章算术》中的解线性方程组《九章算术》第八卷,标题是方程(郭书春, 2004)。所讨论的问题是:

“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?”课件

用今天的语言叙述,这是求解三元一次方程组的问题。中国古代,将方程组的各项系数和“实”之数,用算筹布列成矩阵状(即今之增广矩阵,也是“方”字的由来),然后用消元法变换这些系数(“程”就是计量),最后求得问题的解。

即,方程中的“方”的意思是说,把线性方程组的系数排成一个方阵(由系数与常数构成的方阵);“程”的意思是按照一定的程式进行运算的过程(程就是程式),合起来可以说是矩阵的初等变换,也就是加减消元法。即方程的本义是列成方阵作程式化求解。所以教材中不该狭隘地理解为“含有未知数的等式”。

2.方程的发展

那么“方程”的涵义又是如何发展的呢?

刘徽(魏晋时代人,生卒不详)是这样界定方程的:“群物总杂,各列有数,总言其实,令每行为率。二物者再程,三物者三程,皆如物数程之。立列为行,故谓之方程。” (郭书春, 2004)

结合《九章算术》方程章的问题,就可以知道,“方程”二字,其核心思想是借助一组等式关系求出未知数,所面对的是一个多元一次方程组。

     同时,中国古代在高次方程求解上贡献很大,世称“天元术”。明末清初,西方的algebra 传入中国。中文音译为“阿尔热巴喇”,也称之为“借根方”术,那时没有把“天元术”和方程联系在一起。直到,1859年,李善兰(1811 ~ 1882)和伟烈亚力(A. Wylie, 1815 ~ 1887)合作翻译英国著名数学家德摩根(又译棣么甘, A. De Morgan, 1806 ~1871)著的《代数学》(Elements of Algebra)。第一次将equation译成方程。原文是:

“Every collection of algebraical symbols is called an expression, and when two expressions are connected by the sign = , the whole is called an equation.”(A. De Morgan, 1837)李善兰和伟烈亚力将这句话译为“并代数之几数名为式,两式之间作等号,谓之方程。”(棣么甘, 1859)

从原文来看,equation 就是“将两个代数式用等号连接起来的式子”,全然还是等式的原始本意,并没有任何“未知数”之类的意思。那么为什么李善兰没有将equation直译为等式,而是意译为“方程”呢?这其实就是对数学概念、西方学术里融入中华文化,这是一个意义深远的中国式再创造。

在李善兰看来,中国的天元术和解线性方程组,都是从一个或一组等式求出那些符号所代表的未知数之值。这样一来,方程就是一种等式关系,但又超出了“等式”原来的含义。

中国的方程一词,是和“求未知数”、“求满足等式的根”这样的含义联系在一起的。因而“方程”一词具有中国算学特色,和西方的“等式”一词并不对等。

事实上,方程作为最重要的一种等式,在中国以及东方的汉字文化圈里得到传播,使后学从中受惠。至于仅仅把方程看作“含有字母的等式”,那是过于简单化,也是辜负了李善兰的一番苦心。

3.方程的定义

那基于此,如何该给方程下定义呢?

数学大师关肇直先生说过:“在一些问题中,有些量是已知的,有些量是未知的,根据问题的内容,可以知道未知量与已知量之间的关系,从而可以由这个关系从已知量计算出未知量,这就是解方程的问题”。虽然,关先生把方程的本质、定义说地非常透彻,但是因为字数的原因,并不适合直接拿到小学教材中用。于是,张奠宙先生就代替性地认为方程的定义应该是:“方程是为了寻求未知数,在未知数和已知数之间建立起来的等式关系”。这样的定义,即把方程的核心价值——寻求未知数提出来了,又明确方程是一种关系,其特征是“等式”,这种关系把未知数和已知数联系起来了,同时,人们借助这层关系可以找到我们需要的未知数。

这样的提法,既保持了中国古代借数量关系求未知数的核心含义,又符合西方数学中突出等式的界定,体现了中华文化与西方数学的一种融合。

 总而言之,中国人对方程二字的理解,应该具有中华文化的底蕴,才能够更加深入地体会其中所蕴含的数学思想方法。如果我们把方程仅仅理解为含有字母的等式,那就有点缺乏民族文化自觉性了。

小结:

方程的概念:方程是为了寻求未知数,在未知数和已知数之间建立起来的等式关系

方程的核心:方程的核心价值——求未知数

小学生为什么不喜欢用方程解题

小明的爸爸今年36岁,比小明年龄的3倍还多6岁,求小明的年龄。

算术方法:

(36—6)÷3=小明的年龄

思维:这是从已知的爸爸的年龄36出发,减去6,再除以3,一步一步接近小明的年龄,最终得到答案10

方程方法:

设小明的年龄为x,则有方程:3x + 6=36,解得x=10

这是从未知数的小明的年龄x出发,建立和已知的爸爸年龄的关系,根据关系解出未知数x,即通过对消方法,将未知数还原出来。

通过这一例子,我们可以很清晰地看到。算术方法和方程方法在解题思维上是相反的。打个比方说:如果将要求的答案比喻为河对岸的一块宝石,

那么算术方法好像摸着石头过河——从我们知道的岸边开始,一步一步摸索着接近对岸的未知目标;

而代数方法好像是将一根带钩的绳子甩过河,拴住对岸的未知数(建立一种关系),然后利用这根绳子(关系)慢慢地拉过来,最终获得这块宝石。(用字母代表数,赋予字母与已知数同等地位参与运算,就可以化逆向思考为顺向思考)

两者的思维不同,但得到的结果相同。

由此看出,方程方法解题思维过程简单、直接,是顺向思维。但是,在我们日常教学中却发现,除非教师、试卷要求用方程外,学生都不愿意用方程方法来解题。其大致原因分为两类:

1.学了方程没有用

A.小学数学中为小学生提供的问题都比较简单,学生们完全可以用自己非常熟悉的算术方法解决出来,那何必还要费脑用方程呢?

学生不愿意用方程,那自然而然就无法体会到方程的优越性。

B.相对于直接列算式解决问题,列方程还要写设和解,算出答案,而且答案后面还不能写单位,与算术方法相比多了不少“清规戒律”,在学生眼里是非常繁琐的。

2.学了方程不够用

简单的题,不用方程,用算术方法就能很快解决,但是有难度的题呢?即使学生能够很顺利地列出方程,但是解方程是会涉及到“移项、负数的运算”,而这些在小学的知识里,是不足以帮助学生解决这些问题的。

你可能感兴趣的:(方程讲座之草稿)