数学建模| 线性规划（Matlab）

线性规划

线性规划：约束条件和目标函数都是线性的。简单点说，所有的决策变量在目标函数和约束条件中都是一次方。

Matlab函数

Matlab函数：

[x, value] = linprog(func, A, b, Aeq, beq ,lb, ub);

参数解释：

• func 表示目标函数。
• A 表示不等式约束条件系数矩阵，b 表示不等式约束条件常数矩阵。
• Aeq 表示等式约束条件系数矩阵，beq 表示等式约束条件常数矩阵。
• lb 表示决策变量的下限数组，ub表示决策变量的上限数组。
• x 表示目标函数 func 取得最小值时的决策变量取值数组。
• value 表示目标函数 func 取得的最小值。

Matlab中线性规划的标准形式：
$$\underset{x}{\min }{c}^{T}x$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}Ax⩽b\\ Aeq\cdot x=beq\\ lb⩽x⩽ub\end{array}$$

注意：

• 对于不存在的约束用空矩阵[]，意思是例如beq条件不存在，但是lb和ub条件存在，可以写成linprog(func, A, b, Aeq, [] ,lb, ub)。如果不是中间某个参数不存在，而是后面都不存在就可以省略，例如lb和ub不存在，可以写成linprog(func, A, b, Aeq, beq)。
• 根据Matlab标准，默认求解最小值，如果要求解最大值，把目标函数变成相反数（系数全部乘以-1）；约束条件默认求的都是小于等于或者等号，大于号得转成小于等于。就是说拿到一个目标函数和约束条件，放进Matlab求解前，要先转换为Matlab标准。

Matlab使用例子

步骤：按照数模题目进行建模，得到目标函数和约束条件，然后把目标函数和约束条件化为标准形式，再化成matlab里面矩阵形式，再填入代码中。
目标函数和约束条件：
$$maxz=x_1+x_2-3x_3$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=6\\ x_1-x_2\ge 2\\ x_1+x_2-2x_3\le 5\\ x_1,x_2,x_3\le 15\end{array}$$

根据Matlab标准化后的目标函数和约束条件：
$$minw=-x_1-x_2+3x_3$$
$$s.t.\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=6\\ -x_1+x_2+0\ast x_3\le -2\\ x_1+x_2-2x_3\le 5\\ x_1,x_2,x_3\le 15\end{array}$$

约束条件矩阵化：
( 1 − 1 0 1 1 − 2 ) ( x 1 x 2 x 3 ) ≤ ( − 2 5 ) \left(\begin {array}{c} 1 &-1 &0 \\ 1 &1 &-2 \\ \end{array}\right) \left(\begin {array}{c} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{array}\right) \leq \left(\begin {array}{c} -2\\ 5\\ \end{array}\right) (11​−11​0−2​) ​x1​x2​x3​​ ​≤(−25​)
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right]\cdot {\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]}^T=6$$
$${\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]}^T\le {\left[\begin{array}{ccc}15& 15& 15\end{array}\right]}^T$$

Matlab代码：

func=[-1;-1;3];
A=[1,-1,0;1,1,-1];
b=[-2;5];
aeq=[1,1,1]
beq=6;
ub=[15;15;15];
[x,value]=linprog(func,A,b,aeq,beq,[],ub);

结果：

>> x

x =

   -9.5000
   15.0000
    0.5000

>> value

value =

    -4