树、森林与二叉树的转换
文章目录
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- 一.转换
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- 1.树 ⟷ \longleftrightarrow ⟷二叉树
- 2.森林 ⟷ \longleftrightarrow ⟷二叉树
- 题——空指针计算：
- 二.遍历
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- 1.树：
- 2.森林：
- 三.树练习
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- 1.求树叶子结点个数
- 2.求树高
树——逻辑结构，其存储结构有顺序、链式存储。
树的三种表示法：
1.双亲表示法——顺序存储，每个结点包括：结点值
data、双亲的下标 parent。一般用数组实现。
2.孩子表示法——链式存储，将每个结点的孩子用单链表连接起来。
3. 孩子兄弟表示法——链式存储（二叉树表示法），每个结点包括：结点值
data、指向第一个孩子的指针 firstchild，指向结点下一个兄弟的指针 nextsibling。
一.转换
- 树、森林、二叉树 之间的转化是 唯一的
1.树 ⟷ \longleftrightarrow ⟷二叉树
（1）树 → \rightarrow →二叉树
- 将所有兄弟相连
- 保留指向第一个孩子的指针，抹去其他
- 以根为轴心顺时针转45°(即将所有兄弟变成右子)
实际上是一个，从上到下，从左到右的右兄变右子的过程。
树的先跟、二叉树的先序均为：ABEFGCHDIJ
树的后跟、二叉树的中序均为：EFGBHCIJDA
（2）二叉树 → \rightarrow →树
从上到下，依次将所有结点的右子变成其的右兄弟即可。
2.森林 ⟷ \longleftrightarrow ⟷二叉树
森林即一些树的集合。
（1）森林 → \rightarrow →二叉树
- 将每棵树转化成二叉树
- 将每棵树的根视为兄弟结点，依次连接
- 以第一颗树的根为轴心旋转45°（即将右兄(根)变右子）
森林、二叉树的先序均为：ABCDEFGHJI
森林、二叉树的中序均为：BCDAFEJHIG
（2）二叉树 → \rightarrow →森林
1.从上到下，每次将根的右链断开，得到一些二叉树
2.将所有二叉树转化成树，得到森林
题——空指针计算：
树/森林 的叶结点数： n 1 n_1 n1，非终端结点数： n 2 n_2 n2，则转换成二叉树后
左子为空结点数： n 1 n_1 n1，右子为空结点数： n 2 + 1 n_2+1 n2+1
左子为空 = 叶结点数
树/森林：只有叶结点没有孩子，转化成二叉树后，左子为空，所以是 n 1 n_1 n1
右子为空 = 非叶结点数 + 1(根)
树/森林：每个非叶结点都有孩子，其最右边的孩子必然无右兄，即转换成二叉树后必然右子为空， n 2 n_2 n2个右子为空
树：树的根无右兄，故 n 2 + 1 n_2+1 n2+1
森林：森林的根视为兄弟相连，其最右边的根无右兄，故也是 n 2 + 1 n_2+1 n2+1
2011统考真题：2011个结点的树，叶结点数为116，其对应的二叉树中无右孩子节点的个数是：2011-116+1 = 1896
2014统考真题：森林F转换成二叉树T后，F中叶结点个数等于：T中左孩子指针为空的结点个数
树的 结点数=边数+1（结点数=总度数+1）
所以 森林中的 总结点数-总边数=森林中树的个数
2016统考真题：若森林F有15条边，25个结点，则F包含树的个数：25-15=10
二.遍历
1.树：
先根遍历：先访问根，再访问子树。对树的每一棵子树递归进行。
后跟遍历：先访问子树，后访问根。递归进行。
2.森林：
先序遍历：先访问第一棵树的根节点，先序遍历第一棵树根节点的子树森林，先序遍历第一棵树外其他树组成的森林。
中序遍历：中序遍历第一棵树的根节点的子树森林，访问第一棵树的根节点，中序遍历第一棵树外其他树组成的森林。
先根：根子
后根：子根
先序遍历森林：对每棵树依次进行先跟遍历
中序遍历森林：对每棵树依次进行后根遍历
| 树 | 森林 | 二叉树 |
|---|---|---|
| 先跟 | 先序 | 先序 |
| 后跟 | 中序 | 中序 |
等价关系：
树先根 = 森林先序 = 二叉树先序
树后根 = 森林中序 = 二叉树中序
2019统考真题 将树T转换成二叉树BT，则与T的后跟遍历相同的是：BT的中序遍历
三.树练习
1.求树叶子结点个数
孩子兄弟链表为存储结构。
int Q5(Tree T) {
if (T == NULL)
return 0;
if(T->child==NULL) //没有孩子的时候，说明是叶结点
return Q5(T->sibling) + 1;
else
return Q5(T->sibling) + Q5(T->child);
}
2.求树高
孩子兄弟链表为存储结构。
int Q6(Tree T) {
if (T == NULL)
return 0;
else
return Q6(T->child) + 1 > Q6(T->sibling) ? Q6(T->child) + 1 : Q6(T->sibling);
}
一般二叉树的递归求高为
return Q(T->lchild) > Q(T->rchild) ? Q(T->lchild) + 1 : Q(T->rchild) + 1;