#机器学习--线性代数基础--第一章：行列式

引言

        本系列博客旨在为机器学习(深度学习)提供数学理论基础。因此内容更为精简，适合二次学习的读者快速学习或查阅。

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1、排列及其逆序数

        将 $n$ 个元素排成一列，叫做这 $n$ 个元素的排列。排列数量有 $n!$ 个，其中一般认为 $1,2,...,n$ 为标准排列。
        一个排列中，当某一对元素的先后次序与标准排列中的次序不同时，就说它构成 $1$ 个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。如排列 $3,2,5,1,4$ 的逆序数为 $5$ 。

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2、行列式定义

        $n$ 行 $n$ 列的数表即为 $n$ 阶行列式， $n$ 阶行列式 $D$ 可按如下规则展开：
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|=\sum (-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\dots a_{n{p}_n}$$
         其中， $t$ 为排列 $p_1,p_2,...,p_n$ 的逆序数，而 $\sum$ 表示对 $1,2,3,...,n$ 的所有排列 $p_1,p_2,...,p_n$ 取和。
         如下即为 $3$ 阶行列式的展开：
$$\begin{gathered} D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right| \\ =a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31} \end{gathered}$$

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2、行列式性质

        1、行列式与它的转置行列式相等。这一性质说明了行列式中的行与列具有同等的地位，即对行成立的定理与性质，对列也同样成立。
        2、对换行列式的两行，行列式变号。
        3、用数 $k$ 乘此行列式，等于行列式中某一行所有元素乘 $k$。
        4、两个行列式若除第 $i$ 行外全部相同，则它们之和等于第 $i$ 行相应元素求和后的行列式。如：
$$\begin{gathered} D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}+a_{21}^{{}^{\prime }}& a_{22}+a_{22}^{{}^{\prime }}& a_{23}+a_{23}^{{}^{\prime }}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right| \\ =\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}^{{}^{\prime }}& a_{22}^{{}^{\prime }}& a_{23}^{{}^{\prime }}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right| \end{gathered}$$
        5、行列式中某一行所有元素乘 $k$ 后加到另一行对应元素上去，行列式不变。如：
$$D=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right|\stackrel{{\mathrm{r}}_3+\mathrm{k}{\mathrm{r}}_1}{}\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}+k{a}_{11}& a_{32}+k{a}_{12}& a_{33}+k{a}_{13}\end{array}\right|$$
        通过以上性质，将原行列式转换为另一种更易求值的等价行列式，即为行列式的初等变换。

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3、行列式按行展开

        在 $n$ 阶行列式中，把 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n-1$ 阶行列式叫做 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$。
        令 $A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$，将 $A_{ij}$ 叫做 $a_{ij}$ 的代数余子式。
        行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即：
$$D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}$$

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4、本章总结

        行列式总共有三种求解方法：
        1、直接使用定义进行展开，但当阶数较高时，展开难度大。
        2、对行列式进行初等变换，将其转换为上（下）三角行列式后进行求值。
        3、对行列式进行初等变换，使某一行出现尽可能多的0后再使用行列式按行展开定理求值。