数据结构与算法概论 + 算法效率的度量方法介绍与应用

数据结构与算法概论

第一节 数据结构介绍

程序设计 = 数据结构 + 算法

数据结构包含： 逻辑结构与物理结构

逻辑结构：

数据对象中的数据元素间的相互关系

物理结构

数据的逻辑结构在计算机中的存储形式

四种逻辑结构：

1. 集合结构
2. 线性结构 元素关系：一对一
3. 树形结构 元素关系：一对多 层次结构
4. 图形结构 元素关系：多对多

两种存储结构

1. 顺序存储
2. 链式存储

第二节 算法介绍

算法的五个基本特征

1. 输入 ：算法有0个或多个输入。

2. 输出 ：算法有1个或多个输出。

3. 有穷性 ：算法在执行有限个步骤后，会自动结束。不会出现无限循环并且每一个步骤都在可接受的时间内完成。

4. 确定性 ：算法的每个步骤都有确定的含义，不会出现二义性。算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入，只能有唯一的输出结果。算法的每步都该被精确地定义而无歧义。

5. 可行性 ：每一步都能通过有限次执行完成。

算法不唯一

算法的设计要求

• 正确性：指算法至少且有输入、输出和加工处理。算法无歧义，能正确反应问题需求，得到问题的正确答案。
• 可读性：便于他人阅读修改。
• 健壮性：输入不合法数据可作出相关处理。
• 时间效率高，存储量低

算法效率的度量方法

影响算法效率的原因

1. 算法采用的策略方案
2. 编译产生代码的质量
3. 问题的输入规模
4. 机器执行指令的速度

用大写的O( ) 来体现算法时间复杂度的记法，称之为大O记法。

一般情况下，随着输入规模n的增长，T（n） 增长最慢的算法称之为最优算法。

第三节 推导大O阶的常用方法

1. 用常数 1 取代运行时间中所有加法常数。

2. 修改后运行次数函数中，只得保留最高次项。

3. 若最高次项存在且不唯一，则去除与这项相乘的常数项。

推导常数阶：

常数阶只有O(1)；

推导线性阶：

随着问题规模的扩大，对应计算次数呈直线增长 O(n)

推导平方阶：

嵌套循环求时间复杂度常用方法：
栗1：

int i,j,n=100;
for( i=0;i < n; i++)
{
	for(j=0 ;j < n;j++)
	{
		printf("n");
	}
}

解法：
两层嵌套循环，n=100;外层每执行一次，内层执行100次，即100*100，O（n²）；
栗2：

int i,j,n=100;
for( i=0;i < n; i++)
{
	for(j=i ;j < n;j++)
	{
		printf("n");
	}
}

解法：
当i=0时，内循环执行了n次,
当i=1时，内循环则执行n-1次，
…
当i=n-1时，内循环执行1次，
所以总的执行次数应该是:
n+(n-1)+(n-2)+…+1 = n(n+1)/2（高斯算法）
对上式子进行化简：
n(n+1)/2 = n²/2 + n/2；
根据推导大O方法：
第一条忽略，因为没有常数相加。
第二条只保留最高项，所以n/2这项去掉。
第三条去除与最高项相乘的常数，最终得O（n²）。

推导对数阶：

栗1：

int i =1,n = 100;
while(i < n)
{
	i = i*2;
}

由于每次i*2之后，就举例n更近一步，假设有X个2相乘后大于或等于n,则会退出循环。于是由2^x = n得到x = log(2)n,所以这个循环的时间复杂度为0(log n)。

常见时间复杂度

空间复杂度计算公式
S(n) = O(f(n));