算法复杂度详解(一)

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一、什么是数据结构

数据结构(Data Structure)是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。在内存中管理数据，增删查改。

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二、什么是算法

算法(Algorithm)是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列，其中每一条指令表示一个或多个操作

三、算法复杂度

1.算法复杂度概念

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源，因此衡量一个算法的好坏，一般从时间和空间两个维度进行衡量，即为时间复杂度和空间复杂度。

2.时间复杂度

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

所以我们要先找到某条基本语句与N之间的数学表达式

Func1的执行次数：
N^2+2*n+10
其中
N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010
实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

大O的渐进表示法
大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。
推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。
使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：
N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000

练习1：

// 计算Func2的时间复杂度
void Func2(int N, int M)
{ 
	int count = 0; 
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{ 
		++count; 
	} 
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{ 
		++count;
	} 
	printf("%d\n", count);
}

Func3函数的复杂度O(M+N)
M远大于N 复杂度就是O(M)
N远大于M 复杂度就是O(N)
M和N一样大，复杂度就是O(M)或者是O(N)

练习2：

二分查找的时间复杂度：
二分查找：每查找一次，查找区间个数少一半（除2）
N/2/2/2/2/2/2……=1
假设最坏的情况查找了x次： N = 2^x
x = log2N(以2为底)
所以二分查找函数的时间复杂度为O(log2N)
注：只有log2N才能简写为logN
这里我们可以对比一下暴力查找和二分查找的差距

练习3

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N) 
{ 
	if (0 == N) 
		return 1;  
	return Fac(N - 1) * N;
}
// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度
long long Fib(size_t N)
{ 
	if (N < 3) return 1;
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);

故Fib复杂度为O(2^n)

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总结

以上就是关于时间复杂度的内容，下次文章将会更新后续的空间复杂度内容，希望能够帮到各位