对数函数与指数函数:2015年文数全国卷A题21

对数函数与指数函数:2015年文数全国卷A题21

设函数 .

(I)讨论 的导函数 零点的个数;

(Ⅱ)证明∶当 时,.


【解答问题I】

的定义域为

, 定义域为

, 在 区间,,

所以,函数 在 上单调递增,其值域为

(1)若 ,则函数 没有零点,方程 无解,导函数 零点的个数为 0;

(2)若 ,则函数 有1个零点,方程 有1个解,导函数 零点的个数为 1;


【解答问题Ⅱ】

根据前节讨论,当 时,导函数 存在1个零点.

记此零点为 , 则 ,

所以,. 证明完毕.


【提炼与提高】

『方程与函数』

本题第1问是函数的零点问题。解答过程中应用了转化的思想:先把零点问题转化为方程问题;转化为另外一个函数的零点问题。

转化是高中数学的重要思想,本题是典范的实例。

『利用导函数讨论函数的单调性与零点个数』

这是导数部分的常见问题,要熟练掌握。在高考中,可能直接考查;还有可能间接考查。

『基本不等式』

若 ,则

基本不等式用途广泛,在所有版块的考题中都有可能用到。

『导函数的定义域』

导函数与原函数的关系,犹如“毛与皮”。俗话说:皮之不存:毛将焉附?导函数的定义域不能超出原函数的定义域。

『常用复合函数』

本题用到了以下函数:

这是高考中最常见的复合函数之一。对这类函数的性质,平时训练中就要多加留意,以免临场慌乱。


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